Razones de cambio relacionadas: agua en un cono

tenemos un problema muy interesante esta es una copa de cristal en forma de cono invertido cuya altura es de 4 centímetros y cuyo diámetro en la parte superior es también de 4 centímetros estoy vertiendo agua a razón de un centímetro cúbico por segundo un centímetro cúbico por segundo y el agua en este momento se encuentra a una altura de 2 centímetros la altura que hay desde el fondo de la copa hasta este punto esta altura es de 2 centímetros y la pregunta es bueno sabemos que el volumen al cual se está advirtiendo el agua es un centímetro cúbico por segundo y en el momento en que la altura del agua es de 2 centímetros y se está vertiendo el agua a un centímetro cúbico por segundo queremos saber cuando la altura del agua es de 2 centímetros queremos saber a qué razón está cambiando la altura del agua a qué razón está cambiando la altura del agua a qué razón esta altura está cambiando sabemos que está a dos centímetros pero queremos saber a qué razón está cambiando bien analicemos el problema nos han dado la razón a la cual el volumen del agua está cambiando pongámoslo por acá nos han dado la razón a la cual el volumen está cambiando con respecto al tiempo y la razón a la cual está cambiando este volumen es un centímetro cúbico por segundo y que nos están preguntando nos están preguntando la razón a la cual esta altura h cambia en el momento en que la altura del agua es de dos centímetros anotemos esto por acá nos están preguntando la razón a la que cambia la altura h con respecto al tiempo de h en de t si contestamos esto habremos resuelto el problema para esto necesitamos encontrar una relación que sea válida para todo tiempo entre el volumen y la altura la cual vamos a derivar probablemente usando la regla de la cadena para a partir de ahí obtener una relación entre la razón a la que cambia el volumen y la razón a la que cambia la altura hagamos esto paso a paso primero obtengamos unas relaciones del volumen y la altura bueno de hecho es algo que ya nos dieron acá la fórmula que nos dan aquí la tenemos es que el volumen del cono es igual a un tercio del área de la base del cono por la altura del cono no la vamos a demostrar aquí quizás en un curso de cálculo integral donde veamos sólidos de revolución lo haremos por lo pronto vamos a tomar como válido que esta es la manera de calcular el volumen del cono bien dado esto podemos obtener una expresión que nos relacione el volumen con la altura del cuerpo del agua aquí vamos a ponerlo a poner en azul vamos a ponerlo en azul porque estamos calculando el volumen del cuerpo del agua así es que el volumen va a ser igual un tercio del área de la superficie del agua un tercio de área superficie de agua por la altura del agua por h como calculamos el área la superficie del agua bien nos damos cuenta de que aquí en la parte superior de la copa el diámetro es de 4 centímetros y la altura también es de 4 centímetros y esta relación entre diámetro y altura se va a conservar aquí en el cuerpo cónico de agua aquí vamos a tener la misma relación entre diámetro y altura pues estas de aquí son dos líneas rectas así que en cualquier momento dado la relación entre esto y esto se va a preservar por lo que el diámetro aquí en la superficie del agua va a ser igual a la altura h a partir de esto podemos calcular que el radio es igual a h sobre 2 por lo que aquí el área de la superficie del agua va a ser igual a pi por radio al cuadrado h sobre 2 al cuadrado eso es el área la superficie de agua por supuesto esto multiplicado por un tercio y multiplicado también por h vamos a simplificar esta expresión esto es igual a montes yo por ti por h al cuadrado sobre 4 por h y esto que es igual bien en el numerador tenemos y por h cúbica todo eso dividido entre 12 así que esto es el volumen ahora lo que necesitamos calcular es qué tan rápido cambia el volumen con respecto al tiempo y qué tan rápido cambia la altura con respecto al tiempo y dado que nos interesa el cambio de ambas con respecto al tiempo pues vamos a tomar la derivada con respecto al tiempo a ambos lados de esta expresión hagamos eso necesito primero mover esto un poco a la derecha ligeramente a la derecha ahí lo tenemos y ahora sí voy a tomar la derivada con respecto al tiempo a ambos lados entonces del lado izquierdo que tenemos la derivada con respecto al tiempo del volumen b y del lado derecho de la ayuda con respecto al tiempo de esta expresión del lado izquierdo la deriva con respecto al tiempo del volumen b es simplemente deben de t debe en de t lo cual es igual a la derivada con respecto al t de esta expresión sacamos las constantes y sobre 12 que multiplica que multiplica a la derivada con respecto a t de h h al cubo para que quede claro lo que vamos a hacer vamos a suponer que h depende del tiempo de hecho efectivamente depende del tiempo a medida que pasa el tiempo estamos vertiendo agua sobre la copa por lo cual esta altura va aumentando ok para que quede claro lo que vamos a hacer entonces voy a poner esto de la forma h h como función de te voy a ponerlo en otro color h dt elevado al cubo y como calculamos la derivada con respecto a t dht elevado al cubo estoy seguro que en este momento te está sonando en la cabeza la famosísima regla de la cadena vamos a reescribir todo por acá abajo tenemos que debe de t es igual vamos a ponerlo en el color adecuado es igual a pi sobre 12 por la derivada con respecto a t de hdt al cubo ahora como derivamos esto bueno aquí tenemos algo elevado al cubo la real de la cadena establece que primero hay que derivar algo elevado al cubo con respecto a ese algo y eso va a ser dejando escribir esto de nueva cuenta en un color distinto eso va a ser igual a 3 por htc elevado al cuadrado por la derivada de ese algo con respecto a t en este caso sería por th y av cs rosa x dh en dt para que quede claro como estamos usando la regla y la cadena que tenemos aquí aquí estamos sacando la derivada de hdt al cubo con respecto a hdt y eso lo estamos multiplicando por la derivada de hdt con respecto a t estamos encontrando así la derivada de hdt al cubo con respecto a p es decir esto es igual a la derivada de hdt al cubo con respecto qué es exactamente lo que queremos calcular qué tan rápido está cambiando con respecto al tiempo esta expresión hdt al cubo vamos entonces a reescribir esto para que quede más claro lo voy a hacer por acá arriba la razón a la que está cambiando la razón a la que está cambiando el volumen con respecto al tiempo esto va a ser igual y sobre 12 x 3 x hdt al cuadrado que lo voy a escribir simplemente como 3 h cuadrada x por la razón a la que cambia la altura con respecto al tiempo la derivada de h con respecto al tiempo por de h en dt y aquí podría haber algo de confusión a la mejor podrías haber intentado aquí tomar la derivada de esto con respecto a h pero recuerda estamos tratando de ver cómo están cambiando las cosas con respecto al tiempo y aunque expresamos el volumen con una función de la altura pero dado que h también es una función del tiempo estamos derivando ambos lados con respecto al tiempo es por eso que estamos usando la regla de la cadena para derivar hdt con respecto al tiempo estamos suponiendo que h es una función del tiempo ahora bien a dónde nos lleva esta expresión bueno nos han dado cuando se estableció el problema cuanto vale de vendée t aquí nos lo dieron de venderte es igual a un centímetro cúbico por segundo así es que conocemos que deben de t es igual a un centímetro cúbico también conocemos la altura la altura en este momento específico que es igual a dos centímetros conocemos entonces que la altura es igual a dos centímetros la única incógnita que tenemos es la razón a la que cambia la altura con respecto al tiempo él lo que nos están preguntando es de un principio de hdt hagamos eso por acá abajo tenemos uno deja de poner el mismo color tenemos que un centímetro cúbico por segundo nueva pone unidades para ahorrar espacio esto va a ser igual a y medios déjame describirlo con el color adecuado y medios y esto multiplicado por tres por la altura al cuadrado tres por dos al cuadrado que es igual a 4 3 por 4 espera creo que tenemos un error aquí sí aquí aquí tenemos un error esto es pido si a vos y esto es pido seamos perfecto entonces tenemos videos ya dos por tres por la altura al cuadrado que es igual a cuatro y esto multiplicado por dh en dt y todo esto igual a uno que tenemos entonces que uno es igual 3 por 4 2 es simplifica con este 12 1 es igual a pi por dh en dt despejamos de hdt dividiendo entre de ambos lados y que obtenemos tenemos nuestro gran final tenemos que la tasa la cual aumenta la profundidad con respecto al tiempo cuando estamos vertiendo un centímetro cúbico por segundo de agua y en el momento en que dicha profundidad es de 2 centímetros va a ser igual a 1 sobre pi no hemos hecho el análisis dimensional perestelo puede ser por tu cuenta esto va a ser uno sobre pi centímetros por segundo puedes hacer el análisis dimensional si lo deseas incluyendo las dimensiones aquí y él o aquí esto indica que tan rápido está creciendo la altura exactamente en ese momento