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Transcripción del video

tenemos un problema muy interesante esta es una copa de cristal en forma de cono invertido cuya altura es de 4 centímetros y cuyo diámetro en la parte superior es también de cuatro centímetros estoy vertiendo agua a razón de un centímetro cúbico por segundo un centímetro cúbico por segundo y el agua en este momento se encuentra a una altura de 2 centímetros la altura que hay desde el fondo de la copa hasta este punto esta altura es de 2 centímetros la pregunta es bueno sabemos que el volumen al cual se está divirtiendo el agua es un centímetro cúbico por segundo y en el momento en que la altura del agua es de 2 centímetros y se está vertiendo el agua a un centímetro cúbico por segundo queremos saber cuándo la altura del agua es de 2 centímetros queremos saber a qué razón está cambiando la altura del agua a qué razón está cambiando la altura del agua a qué razón esta altura está cambiando sabemos que está dos centímetros pero queremos saber a qué razón está cambiando bien analicemos el problema nos han dado la razón a la cual el volumen del agua está cambiando pongámoslo por acá nos han dado la razón a la cual el volumen está cambiando con respecto al tiempo y la razón a la cual está cambiando este volumen es un centímetro cúbico por segundo y que nos están preguntando nos están preguntando la razón a la cual esta altura che cambia en el momento en que la altura del agua es de 2 centímetros anotemos esto por acá nos están preguntando la razón a la que cambia la altura checo respecto al tiempo de hdt si contestamos esto habremos resuelto el problema para esto necesitamos encontrar una relación que sea válida para todo tiempo entre el volumen y la altura la cual vamos a derivar probablemente usando la regla de la cadena para partir de ahí obtener una relación entre la razón a la que cambia el volumen y la razón a la que cambia la altura hagamos esto para a paso primero obtengamos una relación entre el volumen y la altura bueno de hecho es algo que ya nos dieron acá la fórmula que nos dan aquí la tenemos es que el volumen del cono es igual a un tercio del área la base del cono por la altura del cono no lo vamos a demostrar aquí quizás en un curso de cálculo integral donde veamos sólidos de revolución lo haremos por lo pronto vamos a tomar como válido que esta es la manera de calcular el volumen del cono bien dado esto podemos obtener una expresión que nos relacione el volumen con la altura del cuerpo del agua aquí vamos a ponerlo a poner en azul vamos a ponerlo en azul porque estamos calculando el volumen del cuerpo del agua así es que el volumen va a ser igual a un tercio del área de la superficie del agua un tercio de área superficie de agua por la altura del agua por h cómo calculamos el área la superficie del agua bien nos damos cuenta de que aquí en la parte superior de la copa el diámetro es de 4 centímetros y la altura también es de 4 centímetros y esta relación entre diámetro y altura se va a conservar aquí en el cuerpo cónico de agua aquí vamos a tener la misma relación entre el diámetro de altura pues éstas de aquí son dos líneas rectas así que en cualquier momento dado la relación entre esto y esto se va a preservar por lo que el diámetro aquí en la superficie del agua va a ser igual a la altura h a partir de esto podemos calcular que el radio es igual a h sobre dos por lo que aquí el área la superficie del agua va a ser igual a ti por el cuadrado h sobre dos al cuadrado es el área la superficie de agua por supuesto esto multiplicado por un tercio y multiplicado también por h vamos a simplificar esta expresión esto es igual a un tercio por ti por aquí al cuadrado sobre cuatro por h y esto que es igual bien en el numerador tenemos y por h kubica todo eso dividido entre 12 así que esto es el volumen ahora lo que estamos calcular es qué tan rápido cambio el volumen con respecto al tiempo que está rápido cambia la altura con respecto al tiempo y dado que nos interesa el cambio de ambas con respecto al tiempo pues vamos a tomar la derivada con respecto al tiempo ambos lados de esta expresión hagamos eso necesito primero mover esto un poco a la derecha ligeramente a la derecha ahí lo tenemos y ahora sí va a tomar la deriva con respecto al tiempo ambos lados entonces del lado izquierdo que tenemos la derivada con respecto al tiempo de el volumen b y del lado derecho la ciudad con respecto al tiempo de esta expresión del lado izquierdo la diva con respecto al tiempo del volumen vez simplemente deben dt debe dt lo cual es igual a la diva con respecto al té de esta expresión sacamos las constantes sí sobre 12 que multiplica que multiplica a la derivada con respecto a 'the de h&h el cubo para que quede claro lo que vamos a hacer vamos a suponer que h depende del tiempo de hecho efectivamente depende del tiempo a medida que pasa el tiempo estamos vertiendo agua sobre la copa por lo cual esta altura va aumentando ok para que quede claro lo que vamos a hacer entonces voy a poner esto de la forma h dt h como función de te voy a poner en otro color h dt elevado al cubo y cómo calculamos la deriva con respecto a 'the dht elevado al cubo estoy seguro que en este momento te está sonando en la cabeza la famosísima regla de la cadena vamos a describir todo por acá abajo tenemos que debe dt es igual vamos a ponerle el color adecuado es igual a ti sobre 12 por la deriva con respecto a tdh dt al cubo ahora como derivamos esté bueno aquí tenemos algo elevado al cubo la red de la cadena establece que primero hay que derribar algo elevado al cubo con respecto a ese algo y eso va a ser deja escribir esto de nueva cuenta en un color distinto eso a ser igual a tres por h dt elevado al cuadrado por la derivada de ese algo con respecto a t en este caso sería por dh y ac/dc rosa por dh en dt para que quede claro cómo estamos usando la regla la cadena que tenemos aquí y aquí estamos sacando la derivada de hdt al cubo con respecto a h dt y eso lo estamos multiplicando por la derivada de hdt con respecto a te estamos encontrando así la derivada de hdt al cubo con respecto a que es decir esto es igual a la derivada de hdt al cubo con respecto a t que es exactamente lo que queremos calcular qué tan rápido está cambiando con respecto al tiempo esta expresión hdt al cubo vamos entonces a reescribir esto para que quede más claro lo voy a hacer por acá arriba la razón a la que está cambiando la razón a la que está cambiando el volumen con respecto al tiempo esto a ser igual a ti sobre 12 por tres por hd al cuadrado que luego escribir simplemente como 3h cuadrada por por la razón a la que cambió la altura con respecto al tiempo la deriva de h con respecto al tiempo por dh dt equipo de haber algo de confusión a lo mejor podría haber intentado aquí tomar la deriva de esto con respecto a h recuerda estamos tratando de ver cómo están cambiando las cosas con respecto al tiempo y aunque expresamos el volumen con una función de la altura pero dado que h también es una función del tiempo estamos derivando ambos lados con respecto al tiempo es por eso que estamos usando la red de la cadena para derivar hdt con respecto al tiempo estamos suponiendo que h es una función del tiempo ahora bien a dónde nos lleva esta expresión bueno nos han dado cuando se estableció el problema cuánto vale deben dt aquí no lo dieron de benet es igual a un centímetro cúbico por segundo así es que conocemos que deben de test igual a un centímetro cúbico por segundo también conocemos la altura la altura en este momento específico que es igual a dos centímetros conocemos entonces que la altura es igual a dos centímetros la única incógnita que tenemos en la razón a la que cambia a la altura con respecto al tiempo que lo que no está preguntando es un principio de hdt hagamos eso por acá abajo tenemos uno de japón el mismo color tenemos que un centímetro cúbico por segundo no va a poner unidades para ahorrar espacio esto va a ser igual a y medios déjame reescribirlo con el color adecuado y medios y esto multiplicado por tres por la altura al cuadrado 3 x 2 al cuadrado que es igual a 4 3 por 4 espera creo que tenemos un error aquí sí aquí aquí tenemos un error es despidos ya vos y esto es pido seamos perfecto entonces tenemos y doceavos por tres por la altura al cuadrado que es igual a 4 y esto multiplicado por dh en de ti y todo esto iguala 1 que tenemos entonces que uno es igual a tres por 412 simplifica con este 12 uno es igual a pig por dh en dt despejamos de hdt dividiendo entre ambos lados y que tenemos tenemos nuestro gran final tenemos que la tasa a la cual aumenta la profundidad con respecto al tiempo cuando estamos vertiendo un centímetro cúbico por segundo de agua en el momento en que dicha profundidades dos centímetros va a ser igual a 1 sobre pipí no hemos hecho el análisis dimensional perestelo puede ser por tu cuenta esto va a ser uno sobre pipí centímetros por segundo puedes hacer el análisis dimensional si lo deseas incluyendo las dimensiones aquí hielo aquí esto indica que tan rápido está creciendo la altura exactamente en ese momento
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