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Cálculo, todo el contenido (edición 2017)

Unidad 8: Lección 1

Preguntas del examen AP Calculus AB

Examen AP Calculus AB/BC, 2015. Pregunta 5b

Intervalos donde f es cóncava hacia abajo y decreciente.

Transcripción del video

inciso b para qué intervalo contenido en menos 3 menor que x menor que 4 la gráfica de f es cóncava hacia abajo y además está decreciendo justifica tu respuesta bueno pues esta vez queremos que la función efe se apuntaba hacia abajo y además este decreciente ok entonces qué te parece si primero recordamos que significa tener una función cóncava hacia abajo entonces lo voy a notar con este color efe es cóncava hacia abajo hacia abajo si pasa que bueno nosotros sabemos que f es con capacidad bajo si y sólo si qué pasa con su segunda derivada bueno pues su segunda derivada ésta tiene que ser menor que cero estás de acuerdo y bueno la segunda derivada es menor que cero sí sólos y qué pasa con la primera derivada bueno la segunda derivada es menor que cero si la primera derivada está decreciendo si f prima de x decrece muy bien esto es lo que sabemos para una función que es cóncava hacia abajo ahora qué pasa si una función decrece qué pasa si f decrece bueno si una función decrecer que es lo segundo que nos piden entonces qué pasa con la primera derivada bueno pues la pendiente de la recta tangente de una función que decrecen debe de ser negativa estás de acuerdo o dicho de otra manera la tasa de cambio de una función que decrece es negativa eso quiere decir que su primera derivada debe de ser menor que cero entonces como nos dan la gráfica de este prima de x vamos a aplicarnos en la primera derivada y queremos que ambas restricciones se cumplan entonces se cumplen ambas ambas cuando pasa que bueno cuando un f prima de x por la primera condición que tengo aquí decrece y además voy a buscar que esta misma f prima que le pase bueno que sea menor que cero para que así se cumpla la segunda condición entonces voy a buscar en esta gráfica un intervalo en donde f prima de crezca y además f prima sea menor que cero bueno pues primero nos vamos a fijar en todos los intervalos en donde f prima sea negativa y se observa es todo esto de aquí por aquí tenemos una función negativa por aquí también por aquí también es negativa por aquí se mantiene negativa por aquí también por aquí también y bueno por aquí también todos estos son los puntos en donde f prima de x es menor que cero todos estos y bueno de todos estos vamos a buscar en cuáles se cumple que f prima de crezca y si observas aquí justo aquí la función está decreciendo decreciendo decreciendo hasta llegar a este punto si observas estamos en el intervalo 2 menor que x menor que menos 1 muy bien aquí en este intervalo la función es negativa y además de crecer y solamente aquí no también aquí si observas en este intervalo también tenemos una función que decrece una función que decrece de aquí aquí es decir en el intervalo 1 menor que x menor que 3 también estamos decreciendo justo aquí se observa en esta parte estamos decreciendo pero justo aquí la función es positiva efe prima de x es positiva así que no vamos a incluir ese intervalo entonces ya está tenemos nuestra solución nuestra solución son los intervalos abiertos menos 2 menor que x menor que menos 1 y el intervalo 1 menor que x menor que 3 en estos dos intervalos se cumplen ambas condiciones y bueno observa que estos dos son intervalos abiertos