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Propiedades de los exponentes con respecto a los productos

CCSS.Math:
8.EE.A.1

Transcripción del video

en este vídeo voy a hacer varios ejemplos relacionados con las propiedades de los exponentes pero antes de que hagamos eso revisemos brevemente lo que significa un exponente impar supongamos que tenemos 2 elevado a la tercera potencia tú puedes estar tentado a decir bueno eso es 6 yo te diré no eso no es 6 esto quiere decir 2 multiplicado por sí mismo 3 veces es decir esto es igual a 2 por 2 por 2 lo cual es igual a 2 por 2 4 por 2 8 esto es igual a 8 si te pregunto a cuánto es igual 3 a la segunda potencia o 3 al cuadrado esto es igual a 3 multiplicado por sí mismo dos veces esto es igual a 3 por 3 lo cual es igual a 9 hagamos un último de estos creo que ya estás agarrando la idea si es que nunca habías visto estos supongamos que tenemos 5 5 elevado a la digamos séptima potencia esto es igual a 5 multiplicado por sí mismo 7 veces es 5 por 5 por 5 por 5 por 5 por 5 por cinco veamos 1 2 3 4 5 6 7 5 a la séptima este va a ser un número muy muy muy grande no lo voy a calcular aquí pero tú lo puedes ser a mano o con una calculadora para checar qué es un número enorme una de las cosas que es fácil darse cuenta es que los exponentes incrementan los números rápidamente ya puedes imaginarte entonces que 5 elevado a la potencia 17 es un numero escandalosamente grande en fin esta es una pequeña revisión de exponentes y ahora entremos al álgebra utilizando exponentes ahora cuánto es 3 déjame ponerlo con otro color cuánto es 3x por 3 x por 3 x cuál es el resultado de esa multiplicación una de las cosas que tienes que recordar de la multiplicación es que no importa el orden en el que hacen las multiplicaciones así es que esto es igual a 3 por 3 por 3 por x por equis y por equis ahora por lo que vimos acá arriba 3 por 3 por 3 esto de aquí 3 x sí mismo 3 veces es 3 al cubo y lo mismo pasa para este término x multiplicado por sí mismo 3 veces es x al cubo así es que esto puede ser escrito como 3 al cubo por x al cubo o como sabemos 3 elevado a la tercera potencia es 9 por 3 lo cual nos da 27 así es que esto es igual a 27 x cúbica aquí podrías decir oye no era esto 3x x 3 x x 3 x es decir 3 x al cubo a poco no estamos multiplicando 3x por sí mismo 3 veces y te diré tiene razón esto de aquí lo puedes interpretar como 3x elevado a la tercera potencia y así hemos llegado a una de las propiedades de los exponentes cuando tienes algo multiplicado por algo y todo eso elevado al cubo a la tercera potencia esto es igual que elevar cada uno de esos términos al cubo y luego multiplicar aquí tenemos 3 al cubo por x al cubo lo cual es igual a 27 x cúbica hagamos algunos ejemplos más qué tal si te pregunto cuánto es pongamos 6 al cubo 6 a la sexta y este va a ser un número realmente grande pero lo quiere escribir como potencias de 6 déjame escribir 6 a la sexta con un color diferente entonces 6 al cubo por 6 a la sexta a cuánto va a ser igual bueno 6 al cubo 6 al cubo sabemos que es 6 por sí mismo 3 veces 6 por 6 por 6 y eso multiplicado por deja de poner el signo de por aquí en verde no mejor voy a usar el naranja wüst el naranja mejor entonces eso multiplicado por 6 a la sexta potencia 6 a la sexta potencia que es 6 x sí mismo 6 veces esto es 6 por 6 por 6 por 6 por 6 a ivan 5 una más por 6 y este número cuánto va a ser bueno estamos multiplicando 6 por sí mismo cuántas veces estamos multiplicando 123456789 veces correcto tres veces aquí y seis veces aquí estamos multiplicando seis por sí mismo nueve veces esto es igual entonces a seis elevado a la tres más seis lo cual es igual a seis a la novena potencia y de esta manera hemos arribado nuevamente a otra propiedad de los exponentes cuando tenemos exponentes en este caso 6 al cubo el número 6 es la base la cual estamos elevando al exponente 3 cuando tienes la misma base y estás multiplicando dos exponentes que tienen la misma base puedes sumar los exponentes así si yo tengo déjame hacer algunos ejemplos más sobre esto y hagámoslo ahora en magenta supongamos que tenemos 2 al cuadrado por 2 a la cuarta por dos a la sexta potencia tengo la misma base así es que puedo sumar los exponentes esto es igual a 2 elevado a la 24 más 6 y esto es igual a 2 elevado a la potencia 12 y espero que esto te haga sentido aquí tenemos 2 al cuadrado 2 por sí mismo dos veces aquí multiplicamos dos por sí mismo cuatro veces y aquí multiplicamos dos por sí mismo seis veces en total están multiplicando dos por sí mismo 12 veces o 2 elevado a la potencia 12 hagamos un ejemplo más abstracto usando algunas variables pero es exactamente la misma idea multipliquemos x al cuadrado x cuadrada por x a la cuarta bueno tenemos la misma base x podemos aplicar la propiedad que acabamos de enunciar esto va a ser igual a x elevado a la 24 x a la sexta y si no me crees tenemos x al cuadrado que equivale a multiplicar x por si mismo dos veces que multiplica a x a la cuarta y x a la cuarta es multiplicar x por sí mismo 4 veces es decir es x x x x x x x cuantas veces estamos multiplicando x por si mismo bien 123456 estamos multiplicando x por sí mismo 6 veces lo que equivale a x elevado a la sexta hagamos otro de estos entre más ejemplos veas yo creo que es mucho mejor hagamos uno con la otra propiedad así mezclamos problemas y completamos las propiedades supongamos que tenemos al cubo y eso elevado a la cuarta te voy a mostrar primero la propiedad y después la ilustraremos cuando tienes algo elevado a un exponente y a la vez eso elevado otro exponente los exponentes se multiplican así es que esto es a la 3 por 4 lo cual es igual a ha elevado a la potencia 12 y porque esto hace sentido bueno al cubo elevado a la cuarta quiere decir al cubo multiplicado por si mismo cuatro veces es decir a kubica por a kubica por a kubica por a kubica estamos elevando al cubo cuatro veces es decir aa la 3 por 4 por lo cual esto es igual a la tres más tres más tres más tres lo cual es lo mismo que a a la tres por cuatro lo cual es ha elevado a la potencia 12 bien revisemos ahora las propiedades que hemos aprendido en este vídeo además de recordar el concepto de exponente si tenemos x elevado a la x x elevado a la vez esto es igual a x elevado a la más b eso lo vimos aquí arriba cuando hicimos x al cuadrado por x a la cuarta es x a la 24 que es x elevado a la sexta potencia también vimos que sí tengo x porque elevado a la potencia esto es igual a x elevado a la x y elevado al a eso lo vimos acá arriba casi al principio del vídeo cuando hicimos 3x elevado al cubo lo cual resultó en 3 al cubo por x al cubo es lo que se está estableciendo en esta propiedad 3x elevado al cubo es lo mismo que 3 al cubo por x al cubo y la última propiedad con la que nos topamos si yo tengo x elevado a la que a la vez está elevado a la b esto es igual a x elevado a la a por b eso lo vimos aquí donde teníamos al cubo elevado a la cuarta lo cual es igual a elevado a la 3 por 4 lo cual es igual a elevado a la potencia 12 ahora usemos estas propiedades para hacer algunos de los que podíamos designar como problemas más complejos supongamos que tenemos que se yo déjame hacer algo así como ok supongamos que tenemos 2 x de cuadrada por menos x cuadrada y todo eso elevado al cuadrado y por 3x cuadrada y cuadrada y queremos simplificar esto empecemos por elevar este término al cuadrado esto lo podemos ver como menos 1 por x cuadrada porque elevado al cuadrado así es que si elevamos todo esto al cuadrado esto es lo mismo que elevará al cuadrado cada uno de estos factores así es que esta parte de aquí la podemos describir como menos 1 elevado al cuadrado por x cuadrada elevado al cuadrado porque elevado al cuadrado y esto se simplifica como menos 1 al cuadrado es 1 x cuadrada al cuadrado recuerda que puedes multiplicar los exponentes así es que es x a la cuarta por ie cuadrada y eso es a lo que simplifica este término de enmedio que tenemos aquí veamos si podemos combinarlo con los otros términos que tenemos el primer término es 2x cuadrada y el último término es 3x cuadrada ye cuadrada y ahora vamos a realizar los productos que están indicados y acuérdate que hemos aprendido en la multiplicación que no importa el orden el que hagamos las multiplicaciones el orden de los factores no altera el producto así es que vamos a reescribir esto de tal manera que sea fácil hacer las multiplicaciones lo más simple es empezar con los coeficientes 2 y 3 entonces tenemos 2 por tres vayamos ahora con los términos en x los voy a hacer con otro color los voy a hacer con este color x que tenemos aquí lo aquí tenemos x a la cuarta y finalmente tenemos x cuadrada por x cuadrada vayamos ahora a los términos en que tenemos ya cuadrada x nuevamente de cuadrada y x nuevamente y encuadrada por de cuadrada y esto a que es igual bien 2 x 3 es igual a 6 luego tenemos x por x a la cuarta por x cuadrada esta x la podemos ver como x a la 1 recordemos que algo elevado a la 1 es ese mismo algo así por ejemplo si tenemos 2 a la 1 es igual a 2 y 3 a la 1 es igual a 3 cualquier número elevado a la 1 es el mismo número así es que tenemos aquí esto va a ser igual a tenemos la misma base x así es que podemos sumar los exponentes esto va a ser x a la uno más cuatro más dos en el siguiente paso haré esta suma y finalmente para las yes esto va a ser igual allí elevado a la potencia 2 más 2 más 2 y esto que nos da esto nos da 6 por equis elevado a la séptima potencia por ie elevado a la sexta potencia bien para terminar este vídeo quiero platicar contigo algo que quizás ya sabes y que es muy interesante que pasa cuando elevas algo a la potencia cero si tenemos siete a la cero a que es igual esto es muy poco intuitivo pero 7 a la 0 es igual a 1 lo mismo que si tenemos 1 a la 0 es igual a 1 cualquier cosa elevada a la cero va a ser igual a 1 cualquier número distinto a la cero elevado a la cero va a ser igual a 1 y para que tengas un poco la intuición de por qué esto es así veámoslo de la siguiente manera 3 a la primera potencia hagámoslo así aquí vamos a poner las potencias 1 2 3 y luego a ser tan solo para el número tres entonces que tenemos tres a la primera potencia es 3 3 al cuadrado es 9 y 3 al cubo es 27 y estamos tratando de encontrar cuánto estrés elevado a la potencia cero piénsalo de la siguiente manera cada vez que disminuye es el exponente en uno estás dividiendo entre tres para ir de 27 a nueve divides entre 3 para ir de 9 a 3 dividido entre 3 así es que quizás para ir del exponente 1 al exponente 0 habría que dividir entre 3 y es por eso que cualquier cosa elevado a la potencia cero en este caso 3 elevado a la potencia cero es 1 nos vemos en el próximo vídeo