Sacar el factor común: modelo de área

el rectángulo de abajo tiene una área de 12 x 46 x cúbica más 15 x cuadrada metros cuadrados y aquí de hecho podemos ver cómo es que está distribuido el rectángulo verdad tenemos una zona verde que tiene área 12 x cuarta tenemos una zona morada que tiene área 6x cúbica y una zona azul que tiene área 15 x cuadrada muy bien ok después nos dice el largo del rectángulo en metros y de hecho aquí podemos ver el largo verdad esta sería ésta esta longitud sería el largo del rectángulo es igual al máximo común factor mono mial de 2 x cuarta 6x cúbica y 15 x cuadrada nos preguntan cuánto miden el largo y el ancho del rectángulo así que como siempre trata de bueno de resolverlo por tu cuenta hace una pausa y luego verificamos todos juntos muy bien aquí lo importante es ver que el digamos la longitud que tiene el largo por la longitud del ancho verdad nos da exactamente el área de nuestro rectángulo y si el largo es el máximo común factor mono mial entonces al factorizar lo de esta suma verdad que es el área total nos quedará exactamente la longitud del ancho del rectángulo así que veamos qué es lo que podemos hacer primero bueno primero consideremos nuestros coeficientes muy bien voy a hacerlo un poquito más pequeño tenemos 12 6 y 15 esos son nuestros coeficientes así que vamos a primero a factorizar los digamos en factores primos verdad para poder encontrar el máximo común factor mono mial así que tendremos el 12 verdad este 12 lo podemos ver como 2 por 6 y 6 es dos por tres muy bien ahora tomemos el 6 que lo podemos ver simplemente como 2 y el 15 que lo podemos ver como 3 por 5 muy bien entonces si nos preguntamos cuál es el máximo común divisor de estos tres números verdad entonces primero tenemos que ver que el 3 es un divisor común de estos tres y es el único verdad porque por ejemplo el 2 divide a 12 también divide a 6 pero no divide a 15 por otro lado el 5 se divide a 15 perón y divide a 6 ni tampoco divide a 12 así que podemos ver que 3 es el único factor común que tienen estos tres números y por lo tanto será el máximo común divisor verdad o también podríamos haberlo visto así tenemos el 12 y podemos ver que todo se puede ser 1 por 2 de verdad también puede ser 2 por 6 o puede ser 3 por 4 verdad por otro lado tenemos el 6 que es 1 por 6 o también es 2 por 3 y finalmente el 15 lo podemos ver como 1 por 15 o 3 por 5 verdad entonces de todos estos divisores que tienen tanto el 12 el 6 y el 15 podemos ver que él más grande que está en común con los tres es el 3 verdad así que este es el más grande y que está presente en todos así que nuestro máximo como un factor mono mial tendrá como como coeficiente al número 3 verdad ahora vamos a fijarnos en las potencias de x aquí tenemos x 4x cúbica y x cuadrada así que si nos fijamos cuál sería el digamos el factor mono mial más grande que podemos obtener de estos tres verdad que es x 4a x cúbica y x cuadrada pues simplemente será x cuadrada verdad muy bien así que este es el máximo como un factor mono mial de 2 x 4 6 x cúbica y 15 x cuadrada vamos a ponerlo acá esto será entonces el largo de nuestro rectángulo verdad será 3 x cuadrada ahora la idea es que tenemos que factorizar 3x cuadrada de esta suma para obtener el ancho verdad así que nos preguntamos por cuánto hay que multiplicar a 3x cuadrada para que nos dé 12 x 4a entonces 3 por 4 nos da 12 y x cuadrada por x cuadrada nos da x 4a ahí tenemos este este mono mío verdad 4 x cuadrada ahora veamos qué es lo que ocurre con la parte morada muy bien hagamos la parte morada y entonces vemos que 3 por 2 nos da 6 y x cuadrada por x nos da x cúbica y finalmente 3 por 5 nos dará 15 y x cuadrada por 1 simplemente nos da x cuadrada verdad entonces lo único que tenemos que hacer es sumar estos 3 y ya tenemos la expresión para el ancho verdad simplemente lo hemos factor izado así que ya podemos dar la respuesta a quienes el largo del largo de hecho es 3x cuadrada metros y el ancho será 4x cuadrada más 2 x más 5 metros verdad entonces de hecho lo que hemos lo que hemos hecho hasta ahora es lo siguiente tenemos 3x cuadradas que multiplica a 4x cuadrada más 2 x más cinco verdad tenemos el largo por el ancho y eso nos debe dar el área verdad esto debe ser exactamente igual a 12 x cuarta más 6 x cúbica más 15 x cuadrada así que ya tenemos quien es el largo el ancho y vemos en efecto que el producto nos da el área total del rectángulo