Distancia entre un punto y una recta

Encuentra la distancia entre el punto -2, -4 este punto de aquí, y la línea "y" igual a -1/3 de "x" más 2, que es esta línea de aquí. Ahora, para hacerlo solo tenemos que encontrar la línea perpendicular a esta línea azul, a "y" es igual a -1/3 de "x" más 2, que contenga este punto de aquí... que contenga este punto... Entonces tenemos que obtener... tenemos que obtener la ecuación de esta línea y luego debemos de encontrar donde se intersecan estas dos líneas. Y luego tenemos que encontrar la distancia entre estos dos puntos de intersección. Y entonces tenemos la distancia más corta entre este punto y esta línea de aquí. El primer paso es determinar cual es la pendiente de esta línea perpendicular. La pendiente de la línea perpendicular va a ser, el inverso negativo de la pendiente de esta línea azul. Por lo que el inverso negativo de 1/3 negativo, va a ser 3 positivo. Entonces esta línea de aquí va a tener una pendiente de 3. Va a tener la forma de "y" igual a "3x" más "b", donde "b" es la ordenada al origen. Y a simple vista, se puede ver aquí, que estará muy cerca de 2 pero verifiquemos eso. Para saber el valor de "b", sustituyamos este punto de aquí. Sabemos, no solo que la pendiente de esta recta es 3, sino también que este punto debe de pertenecer a ella, por lo que este punto debe de satisfacer esta ecuación. Entonces cuando "x" es -2 y "y" es -4... entonces tenemos... -4 es igual... a 3... por -2... más "b"... déjame escribir el -2 ahí adentro... 3 por 2 negativo más "b". Y ahora podemos resolver para "b". Tenemos que -4 es igual a -6 más "b". Y si sumamos 6 de los dos lados tenemos que, 2 es igual a "b" o "b" es igual a 2. Entonces vamos a escribir que la ordenada al origen para segunda línea es en 2. Inmediatamente podemos ver o podemos verificar, donde se intersecan, ambas se intersecan al eje "y" en "y" igual a 2, para las dos, cuando "x" es igual a 0, "y" es igual a 2. Si no fuera tan obvio podríamos igualar estas dos ecuaciones, podríamos decir, miren, tenemos "3x" más 2, ahora sabemos que es "3x" más 2 porque "b" es 2. Y cuando esta "3x" más 2 es igual a -1/3 de "x" más 2. Bueno, veamos, si restamos 2 en ambos lados, ¿cuándo "3x" es igual a -1/3 de "x"? Hay un par de cosas que podríamos hacer en este momento. Podríamos sumar 1/3 de "x" en ambos lados y luego tendríamos 3... tendríamos 3 más 1/3 que es lo mismo que 10/3 de "x" igual a 0 y si multiplicas ambos lados por 3/10... 3/10 obtienes... obtienes "x" es igual a 0. Entonces ambas líneas se intersecan cuando "x" es igual a 0, para las 2, cuando "x" es igual a 0, "y" es igual a 2... cuando "x" es igual a 0, "y" es igual a 2, pero lo pudiste haber visto aquí a simple vista. Podrías haber visto que las ordenas al origen de las 2, que si "x" es igual a 0 y "y" es igual a 2, este punto es 0, 2 y ya sabíamos que este punto de aquí era -2, -4. Y ahora, solo necesitamos encontrar la distancia entre estos 2 puntos. Y la fórmula de la distancia, es en realidad solo una aplicación del teorema de Pitágoras. Solo necesitas encontrar la distancia, el cambio de la dirección en "y" y el cambio en la dirección en "x". Así que hagamos eso por separado. Entonces en la dirección "y"... en la dirección "y" que es esta distancia de aquí... Fuimos desde "y" igual a -4, hasta "y" igual a 2, esta distancia de aquí es 6 y ¿cuál es esta distancia de aquí? Vamos de "x" igual a -2 a "x" igual a 0, por lo que esta distancia de aquí es 2, por lo que la distancia entre estos dos puntos, es solo la hipotenusa de un triángulo recto cuyos catetos son 6 y 2. Así que podemos decir, si le llamamos a esta distancia "d", podríamos decir que la distancia al cuadrado es igual a... y lo único que estoy haciendo aquí es reafirmando la fórmula de la distancia. La fórmula de la distancia te dice todo esto, ya sabes, "y2"... era "y2" menos "y1" que es 6 al cuadrado... pero eso es solo el teorema de Pitágoras... solo digamos 6 al cuadrado... 6 al cuadrado más "x2" menos "x1" que es 0 menos 2 negativo, lo que es 2 positivo al cuadrado, va a ser igual a la distancia al cuadrado, pero vemos que es solo el teorema de Pitágoras, de todas maneras resolvamos para la distancia. Así que, la distancia al cuadrado, va a ser igual a 36 más 4, que es 40 y ahora veamos. 40 es la distancia al cuadrado, puedo solo decir que la distancia es igual a la raíz cuadrada de 40. La raíz cuadrada de 40 es lo mismo que la raíz cuadrada de 4 por 10. Entonces la distancia es igual a 2 si factorizamos el 4, la raíz cuadrada de 4 por la raíz cuadrada de 10, 2 es la raíz de cuatro, 2 por la raíz cuadrada de 10 y hemos terminado.