Optimización: volumen de una caja (parte 2)

en el vídeo pasado empezamos a platicar de este problema de la caja cuando cortamos las esquinas lo clavamos y obteníamos un recipiente y queríamos maximizar el volumen hicimos una gráfica en la calculadora y pues así visualmente aproximamos que más o menos para x igual a 3.93 tendríamos un valor máximo de más o menos 1000 56.29 para el volumen lo que quiero hacer en este vídeo es resolver este problema ahora sí con herramientas de cálculo y comparar los dos resultados entonces aquí ya tenemos el volumen expresado en términos de x pero lo primero que voy a hacer es desarrollar esto un poquito para que sea más fácil de elevarlo sin tener que utilizar regla del producto y así sino una simple derivación de un polinomio entonces déjame escribir por acabe de x pd x y lo que voy a hacer es desarrollar esto de acá entonces voy a poner la equis y haciendo estos paréntesis de acá me queda 20 x 30 son 600 600 luego 20 x menos 2x son menos 40 x 240 x menos 2 x 30 es menos 60 x 60 x y luego menos 2 x x menos 2x que nos queda más 4 x cuadrada y de esta forma el volumen es igual a pues haber esté menos 40 x con este menos 60 x se hace menos 100 x va entonces estoy acá es un voy a poner y así es un menos 100 x y multiplicando por esta x de afuera nos queda voy a recomendar si primero voy a poner 4 x al cuadrado por x que es 4 x al cubo y luego voy a poner x x menos 100 x que es menos 100 x cuadrada y finalmente voy a poner más 600 600 x muy bien esto de acá es la función del volumen expresado en términos de x es un polinomio es muy sencillito vamos a derivar lo para ver que nos da entonces la derivada de prima de x es igual a 3 baja 3 por 4 12 12 x al cuadrado menos dos bajas 2% es 200 200 el exponente baja en 1 más 600 ok esto de aquí es la derivada entonces nos gustaría ver cuando se hace cero o bien cuando no está definida pero bueno aquí siempre está definida verdad mira sobre todo x está entre 0 y 10 entonces esto de acá siempre son numeritos siempre está muy bien definida entonces para encontrar los puntos críticos más bien tendríamos que ver donde estoy acá se hace igual a cero queremos ver dónde se anula la derivada entonces nos gustaría encontrar las x es para las cuales 12 x al cuadrado menos 200 x más 600 es igual a 0 y para encontrar estas x es vamos a utilizar la fórmula cuadrática digo o sea podría intentar factorizar o lo que sea pero no sé si me va a salir así que mejor utilizamos dos en la duda utilizamos la fórmula cuadrática entonces nos quedaría x es igual a a veces me ve y bueno este sabe este es de 200 más menos más menos raíz cuadrada raíz cuadrada debe cuadrada 200 al cuadrado 2 2 x 2 64 y tiene que tener cuatro ceros entonces nos quedaría 40.000 40.000 menos 4 veces hace entonces 4 por 12 por 600 en cientos y todo eso dividido dividido entre dos veces entre 24 entonces tenemos dos chances verdad que x le toque más o que a x le toque menos entonces vamos a hacer esos dos para ver qué obtenemos entonces déjame bajar tantito más o menos por ahí y entonces vamos a sacar la calculadora ok entonces la aprendemos aprendemos entonces x es igual a 200 200 más la raíz cuadrada raíz cuadrada le puse second y x al cuadrado la raíz cuadrada de 40.000 menos 4 por 12 a 600 ok esa es una primera opción bueno hay que dividir entre 24 ahorita lo divido entre 24 entonces la primera opción es 12.74 si redondeamos a 74 va entonces esta es una primera opción 12.74 esto es una equis y tenemos otra posibilidad para equis que es en vez de ponerle el más ponerle el menos sacamos la calculadora otra vez lo que puedo jalar lo que puse antes consecuente enter entonces es lo mismo sólo que ahora en vez de tener más tiene un menos 200 menos la raíz del bla bla bla cuánto nos da y eso dividido entre 24 entonces es 3.92 37 3.92 vamos a redondear lo a 3.92 vale 3.92 estas más bien son aproximaciones aproximaciones ok entonces 12.74 3.92 cuál de éstos nos va a servir a pues ojo de hecho sólo uno de éstos queda en la región que podemos tener verdad o sea x igual a 3.92 es el único que queda entre 0 y 10 x igual a 12 puntos 74 no se valen déjame tachar lo que no se vale porque está fuera de la región así que bueno si tenemos algún máximo debe de corresponder a este de acá claro osea podríamos hacer la gráfica verdad y ver que realmente esto de aquí si parece un máximo pero en la duda es mejor verificarlo de alguna forma analítica y entonces vamos a ver que de adeveras x igual a bueno aproximadamente igual a 3.92 es el máximo utilizando el criterio ahora de la segunda derivada aquí está la primera derivada ya nada más derivamos una vez más efe doble prima de x es igual a 2 x 12 es 24 24 x menos 200 200 y el 600 ya al derivarse se hace cero entonces qué sucede a ver x igual a 3.92 más o menos es como 4 es más chiquito que 4 entonces esta expresión es más chiquita que 4 por 24 pero cuatro por 24 es como como 800 más o menos entonces que estar acá es una cosa positiva verdad si estoy haciendo las cosas bien ah no perdón 4 por 24 no es 800 es como 80 entonces es 80 menos 200 más o menos estoy aquí es una cosa negativa ok entonces la segunda derivada es negativa y eso que nos dice eso nos dice que las funciones cóncava hacia abajo o sea que tenemos una cosa más o menos de este estilo bueno aquí está la gráfica verdad ya para que la pintó pero como la segunda derivada es negativa la pendiente empieza haciendo digamos muy positiva luego empieza a ser menos positiva menos positiva se hace cero en algún momento piensa volverse negativa muy negativa y luego es muy pronunciada entonces la gráfica dvd x ve así y por tanto cuando tenemos que la derivada es igual a cero estamos en este punto que en efecto es un máximo entonces si x igual bueno aproximadamente igual a 3.92 nos da un valor máximo máximo y ya nada más lo único que tenemos que hacer es ver eso cuando nos daría en el volumen verdad lo voy a escribir acá le voy a poner b de 3.92 y déjame jalarla la calculadora otra vez para ver más o menos cuánto nos da aprendemos lo voy a mover para acá para poder ver esta expresión y este valor y nos queda 3.92 x 20 menos 2 x 3.92 y eso multiplicado por 30 menos 2 3.92 déjame ver que haya copiado todo bien 3.92 20 menos 220 menos dos por tres puntos 92 y treinta menos dos por tres puntos 92 ok aquí viene el redoble de tambores y enter nos quedan mil 56 punto 30000 56.3 excelente 1000 56.3 entonces ven o sea nuestra aproximación visual nos dio un volumen máximo de 1000 56.29 pero con este método analítico alcanzamos un poquito más de volumen verdad 1050 y 6.3 entonces eso estuvo súper padre ya tenemos un valor mejor para x y ya claro si quisiéramos realmente hacer este corte tendríamos que contar acá 3.92 3.92 etcétera doblar y tendríamos nuestra caja con volumen máximo hasta la próxima