Aplicando la integración

integrales y funciones primitivas en qué situaciones de la vida las aplicamos veamos el siguiente ejemplo imagina que vas en bici y te mueves a una aceleración de 2 metros sobre segundo al cuadrado durante 10 segundos supongamos que queremos saber a qué velocidad vas y qué distancia has recorrido cuando un cuerpo tiene una aceleración constante diferente de cero su velocidad aumenta linealmente respecto al tiempo si gráfica mos la aceleración de dos metros por segundo al cuadrado en un plano quedaría así una línea recta constante el eje fx es la aceleración y el eje x es el tiempo sabemos que la aceleración es el cambio de velocidad sobre el tiempo y los expresamos como a es igual a v sobre t donde v es la velocidad y t el tiempo ahora para obtener la velocidad de un cuerpo uniformemente acelerado es decir que su aceleración siempre es la misma debemos integrar la aceleración con respecto al tiempo entonces quedaría v es igual a la integración de aceleración por distancia por tiempo y esto es igual a la aceleración por tiempo más ce que es la constante la constante se representa la velocidad inicial con la que se mueve la bici como se parte del reposo se tiene un valor de 0 así nuestra nueva expresión quedaría velocidad es igual a aceleración por tiempo como queremos saber la velocidad final de la bici esto es al término de los 10 segundos basta con sustituir en la expresión los datos que conocemos en aceleración colocamos 2 metros sobre segundo al cuadrado y en tiempo 10 segundos al multiplicar 2 por 10 obtenemos que la velocidad al término de los 10 segundos es igual a 20 metros sobre segundo al cuadrado siguiendo este mismo procedimiento puede saber el valor de la velocidad para cada instante de tiempo reemplazando t por el valor deseado en segundos como se verá si gráfica mos la velocidad vamos a descubrirlo en el plano tenemos que el eje fx es la velocidad y el eje x representa el tiempo la siguiente tabla nos ayudará a hacer la gráfica en el eje del tiempo tenemos cero y para velocidad también la siguiente coordenada es 12 para la tercera tenemos 2 4 y seguimos con 6,12 por ultimo 10,20 graphic hemos al unir los puntos fíjate como la gráfica nos permite conocer la velocidad a la que vas en bici en cualquier momento observa muy bien que parte de cero que es el reposo por ejemplo tenemos que cuando el tiempo es 2 la velocidad es 4 metros sobre segundo cuando el tiempo es 6 la velocidad de 12 metros sobre segundo y como ya habíamos mencionado cuando el tiempo es 10 la velocidad es 20 metros sobre segundo por último únicamente nos faltaría calcular la distancia recorrido para esto vamos a realizar la integral de la expresión de velocidad que habíamos obtenido entonces lo que tenemos que hacer es sustituir los datos que tenemos en la fórmula integrada y así sabremos la distancia final recorrida al cabo de los 10 segundos tenemos que la aceleración es 2 metros sobre segundo al cuadrado y el tiempo es 10 segundos al realizar la operación obtenemos que 10 segundos al cuadrado es 100 al multiplicarlo por 2 metros sobre segundo al cuadrado el resultado es 200 metros y al multiplicarlo por un medio es igual a 100 metros eso quiere decir que la distancia recorrida son 100 metros vamos a graficar lo para ver cómo queda en nuestro eje de las ordenadas tendremos la distancia recorrida y como puedes observar va de 20 en 20 el eje x o el de las abscisas es el tiempo y el intervalo que tenemos es de dos en dos entonces graphic hemos la distancia recorrida contra el tiempo sustituyendo los valores de 0 a 10 segundos cuando haya pasado un segundo la distancia recorrida será 1 metro para 2 segundos 4 metros para 3 segundos 9 cuando hayan pasado 4 segundos habrás recorrido 16 metros en 5 segundos 25 en seis segundos 36 en 7 49 en 8 64 en 9 81 y por último en 10 segundos 100 metros ya sólo nos queda unir los puntos para ver qué líneas de forma este solo fue un ejemplo para saber en qué situaciones aplicamos la integral pero hay muchos más en todas las ciencias no dejes de descubrirlo