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Geometría - Preparación Educación Superior

Curso: Geometría - Preparación Educación Superior > Unidad 8

Lección 5: Escribir ecuaciones en la forma pendiente-ordenada al origen
Matemáticas
Geometría - Preparación Educación Superior
Geometría analítica
Escribir ecuaciones en la forma pendiente-ordenada al origen
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Escribir ecuaciones en la forma pendiente-ordenada al origen

Google Classroom
Aprende a encontrar la ecuación pendiente-ordenada al origen de una recta a partir de dos puntos sobre esa recta.
Si no la has leído aún, tal vez quieras comenzar con la introducción a la forma pendiente-ordenada al origen.

Escribir ecuaciones a partir de la ordenada al origen y otro punto

Se muestra un plano coordenado de primer cuadrante. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. La gráfica de una recta pasa por los puntos cero, tres y dos, siete, que están marcados y etiquetados.
Escribamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis y left parenthesis, 2, comma, 7, right parenthesis en la forma pendiente-ordenada al origen.
Recuerda que en la ecuación pendiente-ordenada al origen y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f, la pendiente está dada por start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 y la ordenada al origen está dada por start color #0d923f, b, end color #0d923f.

Encontrar start color #0d923f, b, end color #0d923f

La ordenada al origen de la recta es left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, right parenthesis, así que sabemos que start color #0d923f, b, end color #0d923f, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f.

Encontrar start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6

Recuerda que la pendiente de una recta es la razón de cambio en y sobre el cambio en x entre cualesquiera dos puntos sobre la recta:
start text, P, e, n, d, i, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, start text, C, a, m, b, i, o, space, e, n, space, end text, y, divided by, start text, C, a, m, b, i, o, space, e, n, space, end text, x, end fraction
Por lo tanto, esta es la pendiente entre los puntos left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis y left parenthesis, 2, comma, 7, right parenthesis:
m=Cambio en yCambio en x=7−32−0=42=2\begin{aligned}\maroonC{m}&=\dfrac{\text{Cambio en }y}{\text{Cambio en }x} \\\\ &=\dfrac{7-3}{2-0} \\\\ &=\dfrac{4}{2} \\\\ &=\maroonC{2}\end{aligned}
En conclusión, la ecuación de la recta es y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 3, end color #0d923f.

Comprueba tu comprensión

Problema 1
Se muestra un plano coordenado de primer cuadrante. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. La gráfica de una recta pasa por los puntos cero, cinco y cuatro, nueve, que están marcados y etiquetados.
Escribe la ecuación de la recta.

Problema 2
Se muestra un plano coordenado de primer cuadrante. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. La gráfica de una recta pasa por los puntos cero, ocho y tres, dos, que están marcados y etiquetados.
Escribe la ecuación de la recta.

Escribir ecuaciones a partir de cualesquiera dos puntos

Se muestra un plano coordenado de primer cuadrante. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. La gráfica de una recta pasa por los puntos dos, cinco y cuatro, nueve, que están marcados y etiquetados.
Escribamos la ecuación de la recta que pasa por left parenthesis, 2, comma, 5, right parenthesis y left parenthesis, 4, comma, 9, right parenthesis en la forma pendiente-ordenada al origen.
Observa que no se nos da la ordenada al origen de la recta. Esto hace las cosas un poco más complicadas, ¡pero no tenemos miedo de un desafío!

Encontrar start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6

m=Cambio en yCambio en x=9−54−2=42=2\begin{aligned}\maroonC{m}&=\dfrac{\text{Cambio en }y}{\text{Cambio en }x} \\\\ &=\dfrac{9-5}{4-2} \\\\ &=\dfrac{4}{2} \\\\ &=\maroonC{2} \end{aligned}

Encontrar start color #0d923f, b, end color #0d923f

Sabemos que la recta es de la forma y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f, pero aún necesitamos encontrar start color #0d923f, b, end color #0d923f. Para hacerlo, sustituimos el punto left parenthesis, 2, comma, 5, right parenthesis en la ecuación.
Como cualquier punto sobre la recta debe satisfacer la ecuación de la recta, obtenemos una ecuación que podemos resolver para despejar start color #0d923f, b, end color #0d923f.
y=2⋅x+b5=2⋅2+bx=2 y y=55=4+b1=b\begin{aligned}y&=\maroonC{2}\cdot x+\greenE{b}\\\\ 5&=\maroonC{2}\cdot 2+\greenE{b}&\gray{x=2\text{ y }y=5}\\\\ 5&=4+\greenE{b}\\\\ \greenE{1}&=\greenE{b} \end{aligned}
En conclusión, la ecuación de la recta es y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f.

Comprueba tu comprensión

Problema 3
Se muestra un plano coordenado de primer cuadrante. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. La gráfica de una recta pasa por los puntos uno, cuatro y tres, diez, que están marcados y etiquetados.
Escribe la ecuación de la recta.

Problema 4
Se muestra un plano coordenado de primer cuadrante. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. La gráfica de una recta pasa por los puntos dos, nueve y cuatro, uno, que están marcados y etiquetados.
Escribe la ecuación de la recta.

Problema de desafío
Una recta pasa por los puntos left parenthesis, 5, comma, 35, right parenthesis y left parenthesis, 9, comma, 55, right parenthesis.
Escribe la ecuación de la recta.

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