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Ejemplo resuelto: intervalo de convergencia

Transcripción del video

aquí tenemos una serie infinita y la meta de este vídeo esta tarde encontrar el intervalo de convergencia de esta serie es otra forma de decir qué rango de valores de x va a converger esta serie y como siempre los invito a que pausa en el video y traten de resolver esto por su cuenta ha sido en esta serie pues no coincide exactamente con una serie geométrica o con una serie alternante cuando veo algo así pienso en el criterio de la razón ya que tiende a hacer bastante general y para aplicar el criterio de la razón queremos pensar en el límite cuando n tiende al infinito del término n más uno dividido entre el enésimo terminó el valor absoluto de esto sí esto es menor que 1 entonces va a converger y los valores de x que hagan que esto sea mayor que 1 entonces esto diverge y para los valores de x que hagan que esto sea igual a uno pues entonces no tendremos una respuesta no sabremos si esto con bergé o diverge por lo que tendremos que usar otras técnicas para saber si esto convergen o diverge pensemos en esto vamos a evaluarlo el límite cuando m tiende al infinito del valor absoluto de azul n más uno esto va a ser x a la n más uno entre enemas uno por cinco a la ema zona y esto lo vamos a dividir entre a subíndice n que corresponde a ekiza la n entre n por cinco a la n tomamos el valor absoluto de todo esto vamos a simplificar esto aquí abajo esto es x al adn más uno / n más uno por cinco a la n más uno que multiplica al recíproco de esto qué es n por cinco a la n entre x a la n esto lo podemos simplificar de la siguiente manera dividimos el numerador / x a la n ii nos queda x y dividimos numerador y denominador entre cinco a la n-331 esto es uno y esto va a hacer 5 al aire más uno entre cinco a la n a ser igual a 5 y nos queda x por n entre distribuimos este 5 y nos queda 5n +5 ahora reescribimos esto va a ser igual al límite cuando n tiende a infinito de el valor absoluto de esto de aquí y para ayudarnos a calcular este límite vamos a dividir el numerador y el denominador entre m no estoy cambiando el valor ya que estoy haciendo lo mismo con el numerador y el denominador los dividimos entre el mismo valor he vivido numerador y denominador entre n esto va a ser lo mismo que x entre cinco más cinco / m y cuando / el numerador y el denominador entre n es bastante obvio que sucede cuando n tiende al infinito cuando n se aproxima al infinito x no va a cambiar 5 no va a cambiar pero 5 / m tiende a cero así que este límite va a ser igual axn 35 nos quedó algo bastante sencillo y ahora vamos a usar esto el valor absoluto de equis entre 5 y vamos a analizar bajo qué condiciones el valor absoluto de equis entre 5 es menor a 1 en donde definitivamente va a converger bajo qué condiciones será mayor que 1 en donde definitivamente diverge y bajo qué condiciones no vamos a saber si convergió diverge veamos bajo qué condiciones va a converger para qué valores de x el valor absoluto de x en 35 va a ser menor que uno que es nuestra situación de convergencia esto es lo mismo que decir que me no sólo es menor que x entre 5 y que a su vez éste sea menor a 1 multiplicamos todos los lados por 5 y nos queda menos 5 menor que x y xv menor que 5 sabemos que si esto se cumple esto definitivamente va a ser parte de nuestro intervalo de convergencia si nuestra x está dentro de este rango nuestra serie va a converger pero aún no terminamos tenemos que ver el caso en el que no tenemos respuesta pensemos en el escena mario en el que el valor absoluto de equis entre 5 es igual a 1 otra forma de pensar en esto es decir que x en 35 es igual a uno o que x en 35 es igual a menos o no lo que significa que x es igual a 5 ó x es igual a menos cinco estos son los dos casos en los que no sabemos si con bergé o diverge vamos a probarlo si individualmente usándolos en nuestra serie usando x igual a 5 y x igual a menos cinco en el primer escenario cuando x es igual a 5 no esta serie va a ser la suma desde que en es igual a 1 hasta infinito de cinco a la n entre n por cinco a la n esto va a ser igual a la suma desde que me es igual a 1 hasta infinito de 1 / m y esta es una serie armónica es la serie p en donde pp es igual a 1 y sabemos que de las series pp si ps igual a 1 esto diverge lo vemos en el vídeo de series armónicas esto definitivamente diverge y esto lo pueden probar con el criterio de la convergencia de las series pp y si la ap es igual a 1 para estas series pp va a divergir así que cinco definitivamente no es parte de nuestro intervalo de convergencia ahora veamos qué pasa cuando x es igual a menos cinco cuando x es igual a menos cinco esto va a ser igual a la suma desde que me es igual a 1 hasta el infinito de -5 a la n entre n por cinco a la n esto es igual a la suma de que en es igual a 1 hasta el infinito y esto podemos escribir lo como -1 a la n por cinco a la n entre n por cinco a la n esto se cancela y nos queda una serie alternante y quizá sepan que esto con bergé o pueden usar el criterio de las series alternantes y este criterio de las series alternantes en este criterio si vemos que esto se de clementa mono tónica mente y el límite cuando n se aproxima al infinito es cero esto va a converger las series armónica alternantes convergen y ya que esto con bergé podemos incluirlo en nuestro límite aquí en nuestro intervalo de convergencia así que x no tiene que ser estrictamente mayor que menos cinco puede ser mayor o igual que menos cinco pero tiene que ser menor que cinco y así encontramos nuestro intervalo de convergencia