hola! En el problema 4 no se de donde sale el 4t en el procedimiento y respuesta me ayudan porfa :)

es una resolución de binomio: (t-2) al cuadrado y se resuelve así: El cuadrado del primer término, por el doble producto del primer término por el segundo término y el cuadrado del segundo término, es decir: (t) al cuadrado - 2(t)(2)+(2) al cuadrado = t al cuadrado -4t+4

En el primer ejemplo de "Funciones compuestas: una definición formal", ¿de dónde sale el 8x? = (x+4)^2 − 2(x+4) = x^2 + 8x + 16 − 2x − 8x <------ Aquí = x^2 + 6x + 8 ¿No debería ser?: = (x+4)^2 − 2(x+4) = x^2 + 4^2 − 2x − 8 = x^2 − 2x + 16 - 8 = x^2 − 2x + 8

Ya recordé el porqué: (a+b)^2 = a^2 + 2(a)(b) + b^2 y (a-b)^2 = a^2 - 2(a)(b) + b^2

No encuentro respuesta hacia las preguntas 4 y 5

El problema es que en los botones de signos no aparece el de potenciación, puedes usar la tecla ALTGr + la tecla ^ para elevar la expresión al cuadrado. Queda así g(f(t)) = (t-2)^2 +5 ------- > g(f(t)) = t^2 -4t + 9, luego que la desarrollas.

en el 4 y 5 no encuentro la respuesta y aunqye la ponga la correcta no me da

El problema es que en los botones de signos no aparece el de potenciación, puedes usar la tecla ALTGr + la tecla ^ para elevar la expresión al cuadrado. Queda así g(f(t)) = (t-2)^2 +5 ------- > g(f(t)) = t^2 -4t + 9, luego que la desarrollas.

Contenido principal

Curso: Matemática básica - UPN > Unidad 1

Lección 6: Lección 6: Composiciones de funciones

Composición de funciones

Q: En el primer ejemplo de "Funciones compuestas: una definición formal", ¿de dónde sale el 8x? = (x+4)^2 − 2(x+4) = x^2 + 8x + 16 − 2x − 8x <------ Aquí = x^2 + 6x + 8 ¿No debería ser?: = (x+4)^2 − 2(x+4) = x^2 + 4^2 − 2x − 8 = x^2 − 2x + 16 - 8 = x^2 − 2x + 8

Ya recordé el porqué: (a+b)^2 = a^2 + 2(a)(b) + b^2 y (a-b)^2 = a^2 - 2(a)(b) + b^2

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Examina ejemplos, explicaciones y problemas de práctica para aprender cómo determinar y evaluar funciones compuestas.

Dadas dos funciones, podemos combinarlas de tal manera que las salidas de una función se conviertan en las entradas de otra. Esta acción define una función compuesta. ¡Veamos qué significa esto!

Evaluar funciones compuestas

Ejemplo

f (x) = 3 x - 1

g (x) = x^{3} + 2

, entonces, ¿qué es

f (g (3))

Solución

Una forma de evaluar

f (g (3))

es trabajar "de adentro hacia afuera". En otras palabras, evaluemos

g (3)

primero, y después sustituyamos ese resultado en

f

para encontrar nuestra respuesta.

Evaluemos

g (3)

$\begin{aligned} g (x) & = x^{3} + 2 \\ g (3) & = (3)^{3} + 2 Sustituye x = 3. \\ = 29 \end{aligned}$ ‍

Como

g (3) = 29

, entonces

f (g (3)) = f (29)

Ahora evaluemos

f (29)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (29) & = 3 (29) - 1 Sustituye x = 29. \\ = 86 \end{aligned}$ ‍

Así, tenemos

f (g (3)) = f (29) = 86

Encontrar la función compuesta

En el ejemplo anterior, la función

g

convirtió

3

29

, y la función

f

convirtió

29

86

. Encontremos la función que convierta

3

directamente a

86

Para hacer esto, debemos componer las dos funciones y encontrar

f (g (x))

Ejemplo

¿Qué es

f (g (x))

?
Como referencia, recuerda que $f (x) = 3 x - 1$ ‍ y $g (x) = x^{3} + 2$ ‍.

Solución

Si observamos la expresión

f (g (x))

, podemos ver que

g (x)

es la entrada de la función

f

. Así que sustituyamos

g (x)

donde aparece

x

en la función

f

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (g (x)) & = 3 (g (x)) - 1 \end{aligned}$ ‍

Como

g (x) = x^{3} + 2

, podemos sustituir

g (x)

por

x^{3} + 2

$\begin{aligned} f (g (x)) & = 3 (g (x)) - 1 \\ = 3 (x^{3} + 2) - 1 \\ = 3 x^{3} + 6 - 1 \\ = 3 x^{3} + 5 \end{aligned}$ ‍

Esta nueva función debe convertir

3

directamente a

86

. Comprobémoslo.

$\begin{aligned} f (g (x)) & = 3 x^{3} + 5 \\ f (g (3)) & = 3 (3)^{3} + 5 \\ = 86 \end{aligned}$ ‍

¡Excelente!

Practiquemos

Problema 1

f (x) = 3 x - 1

g (x) = x^{3} + 2

Evalúe $g (f (1))$ ‍.

Para evaluar

g (f (1))

, primero hagámoslo de "adentro hacia afuera".

Evaluemos

f (1)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (1) & = 3 (1) - 1 Sustituye x = 1. \\ = 2 \end{aligned}$ ‍

Ya que

f (1) = 2

, entonces

g (f (1)) = g (2)

Ahora evaluemos

g (2)

$\begin{aligned} g (x) & = x^{3} + 2 \\ g (2) & = (2)^{3} + 2 Sustituye x = 2. \\ = 10 \end{aligned}$ ‍

Así que

g (f (1)) = g (2) = 10

También podríamos encontrar

g (f (x))

y evaluar esto

x = 1

Problema 2

m (x) = 3 x - 2

n (x) = x + 4

Encuentra $m (n (x))$ ‍.

Funciones compuestas: una definición formal

En el ejemplo anterior encontramos y evaluamos una función compuesta.

En general, para indicar la función

f

compuesta con la función

g

, podemos escribir

f \circ g

, que se lee como "

f

compuesto con

g

". Esta composición se define con la siguiente regla:

$(f \circ g) (x) = f (g (x))$ ‍

El siguiente diagrama muestra la relación entre

(f \circ g) (x)

f (g (x))

Ahora veamos otro ejemplo con esta nueva definición en mente.

Ejemplo

g (x) = x + 4

h (x) = x^{2} - 2 x

Encuentra

(h \circ g) (x)

(h \circ g) (- 2)

Solución

Podemos encontrar

(h \circ g) (x)

de la siguiente manera:

$\begin{aligned} (h \circ g) (x) & = h (g (x)) & Define. \\ = (g (x))^{2} - 2 (g (x)) & Sustituye g (x) por x en la función h . \\ = (x + 4)^{2} - 2 (x + 4) & Sustituye x + 4 en lugar de g (x) . \\ = x^{2} + 8 x + 16 - 2 x - 8 & Distribuye. \\ = x^{2} + 6 x + 8 & Combina términos semejantes. \end{aligned}$ ‍

Puesto que ahora tenemos la función

h \circ g

, podemos simplemente sustituir

x

por

- 2

para encontrar

(h \circ g) (- 2)

$\begin{aligned} (h \circ g) (x) & = x^{2} + 6 x + 8 \\ (h \circ g) (- 2) & = (- 2)^{2} + 6 (- 2) + 8 \\ = 4 - 12 + 8 \\ = 0 \end{aligned}$ ‍

Por supuesto que también podríamos haber encontrado

(h \circ g) (- 2)

evaluando

h (g (- 2))

. Esto se muestra a continuación:

$\begin{aligned} (h \circ g) (- 2) & = h (g (- 2)) \\ = h (2) Pues g (- 2) = - 2 + 4 = 2 \\ = 0 Pues h (2) = 2^{2} - 2 (2) = 0 \end{aligned}$ ‍

El siguiente diagrama muestra como se relaciona

(h \circ g) (- 2)

con

h (g (- 2))

Aquí podemos ver que la función

g

convierte

- 2

2

, y la función

h

convierte

2

0

, mientras que la función

h \circ g

convierte

- 2

directamente a

0

Ahora practiquemos con algunos problemas

Problema 3

f (x) = 3 x - 5

g (x) = 3 - 2 x

Evalúa $(g \circ f) (3)$ ‍.

Primero utilicemos la definición de una función compuesta para volver a escribir el problema como

g (f (3))

Para evaluar

g (f (3))

, primero hagámoslo de "adentro hacia afuera".

Evaluemos

f (3)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 5 \\ f (3) & = 3 (3) - 5 Sustituye x = 3. \\ = 4 \end{aligned}$ ‍

Ya que

f (3) = 4

, entonces

g (f (3)) = g (4)

Ahora encontremos

g (4)

$\begin{aligned} g (x) & = 3 - 2 x \\ g (4) & = 3 - 2 (4) Sustituye x = 4. \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

Así que

g (f (3)) = g (4) = - 5

También podríamos encontrar

g (f (x))

y evaluar esto para

x = 3

En los problemas 4 y 5, sean

f (t) = t - 2

g (t) = t^{2} + 5

Problema 4

Encuentra $(g \circ f) (t)$ ‍.

Con la definición de funciones compuestas, podemos primero volver a escribir

(g \circ f) (t)

como

g (f (t))

Si observamos la expresión

g (f (t))

, podemos ver que

f (t)

es la entrada de la función

g

. Así que sustituyamos

f (t)

donde aparece

x

en la función

g

$\begin{aligned} g (t) & = t^{2} + 5 \\ g (f (t)) & = (f (t))^{2} + 5 \end{aligned}$ ‍

Como

f (t) = t - 2

, podemos sustituir

f (t)

por

t - 2

$\begin{aligned} g (f (t)) & = (f (t))^{2} + 5 \\ = (t - 2)^{2} + 5 \\ = t^{2} - 4 t + 4 + 5 \\ = t^{2} - 4 t + 9 \end{aligned}$ ‍

Problema 5

Encuentra $(f \circ g) (t)$ ‍.

Con la definición de funciones compuestas, podemos primero volver a escribir

(f \circ g) (t)

como

f (g (t))

Si observamos la expresión

f (g (t))

, podemos ver que

g (t)

es la entrada de la función

f

. Así que sustituyamos

g (t)

donde aparece

x

en la función

f

$\begin{aligned} f (t) & = t - 2 \\ f (g (t)) & = (g (t)) - 2 \end{aligned}$ ‍

Como

g (t) = t^{2} + 5

, podemos sustituir

g (t)

por

t^{2} + 5

$\begin{aligned} f (g (t)) & = (g (t)) - 2 \\ = (t^{2} + 5) - 2 \\ = t^{2} + 5 - 2 \\ = t^{2} + 3 \end{aligned}$ ‍

Problema de desafío

Las gráficas de las ecuaciones

y = f (x)

y = g (x)

se muestran en la cuadrícula abajo.

¿Cuál de las siguientes aproxima mejor el valor de $(f \circ g) (8)$ ‍?

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Johana Toro Walteros
Publicado hace hace 8 años. Enlace directo a la publicación “hola! En el problema 4 no...” de Johana Toro Walteros
hola! En el problema 4 no se de donde sale el 4t en el procedimiento y respuesta
me ayudan porfa :)
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- Jackbiersack26
  Publicado hace hace 8 años. Enlace directo a la publicación “es una resolución de bino...” de Jackbiersack26
  es una resolución de binomio: (t-2) al cuadrado y se resuelve así:
  El cuadrado del primer término, por el doble producto del primer término por el segundo término y el cuadrado del segundo término, es decir:
  (t) al cuadrado - 2(t)(2)+(2) al cuadrado = t al cuadrado -4t+4
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Antonella C
Publicado hace hace 9 meses. Enlace directo a la publicación “En el primer ejemplo de "...” de Antonella C
En el primer ejemplo de "Funciones compuestas: una definición formal", ¿de dónde sale el 8x?
= (x+4)^2 − 2(x+4)
= x^2 + 8x + 16 − 2x − 8x <------ Aquí
= x^2 + 6x + 8

¿No debería ser?:
= (x+4)^2 − 2(x+4)
= x^2 + 4^2 − 2x − 8
= x^2 − 2x + 16 - 8
= x^2 − 2x + 8
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- Antonella C
  Publicado hace hace 9 meses. Enlace directo a la publicación “Ya recordé el porqué: (a+...” de Antonella C
  Ya recordé el porqué:
  (a+b)^2 = a^2 + 2(a)(b) + b^2
  y
  (a-b)^2 = a^2 - 2(a)(b) + b^2
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Adriana Campos
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “No encuentro respuesta ha...” de Adriana Campos
No encuentro respuesta hacia las preguntas 4 y 5
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- William Azuaje
  Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “El problema es que en los...” de William Azuaje
  El problema es que en los botones de signos no aparece el de potenciación, puedes usar la tecla ALTGr + la tecla ^ para elevar la expresión al cuadrado. Queda así g(f(t)) = (t-2)^2 +5 ------- > g(f(t)) = t^2 -4t + 9, luego que la desarrollas.
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Jose Antonio Nieto Chirino
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en el 4 y 5 no encuentro la respuesta y aunqye la ponga la correcta no me da
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- William Azuaje
  Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “El problema es que en los...” de William Azuaje
  El problema es que en los botones de signos no aparece el de potenciación, puedes usar la tecla ALTGr + la tecla ^ para elevar la expresión al cuadrado. Queda así g(f(t)) = (t-2)^2 +5 ------- > g(f(t)) = t^2 -4t + 9, luego que la desarrollas.
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JunMoXiao
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “Alguien conoce alguna per...” de JunMoXiao
Alguien conoce alguna persona que sabe jaquear y necesito urgente un profesor de matematicas para 4 de secundaria.
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Sebastian Fajardo
Publicado hace hace 9 meses. Enlace directo a la publicación “no entendí en el problema...” de Sebastian Fajardo
no entendí en el problema 4 de donde salió el (4t)
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Muy buenaa la verdad
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leonardo hernandez salazar
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por que no me deja contestar los problemas 3,4y 5
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brayansegura26
Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “3) Sean las funciones 𝒇(...” de brayansegura26
3) Sean las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 𝒚 𝒈(𝒙) = 𝒙
𝟐 + 𝟏. Determine:
a) (𝒈 𝒐 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙))
b) (𝒇 𝒐 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙))
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  Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “a) (g°f)(x) = x+4 b) (f°g...” de Yahir.Q
  a) (g°f)(x) = x+4
  b) (f°g)(x) = x+4
  
  Stay happy, sweet and healthy!
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perez.roldan.johana21
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “En cada ejercicio, determ...” de perez.roldan.johana21
En cada ejercicio, determine: 𝑓 + 𝑔, (𝑓 − 𝑔)(5) 𝑓. 𝑔 , 􏰁􏰀 y sus dominios.
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3, g(x)x2
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