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Problema verbal de ecuaciones cuadráticas: dimensiones de un triángulo

CCSS.Math:
HSA.CED.A.1
,
HSA.REI.B.4
,
HSA.REI.B.4b
,
HSA.SSE.B.3
,
HSA.SSE.B.3a

Transcripción del video

a la altura de un triángulo es cuatro centímetros menos que el largo de su base si el área del triángulo es de 30 centímetros cuadrados encuentra la base la altura del triángulo usa la fórmula área es igual a un metro de base por altura para encontrar el área del triángulo y bien cómo resolvemos este problema lo primero que voy a hacer aquí es dibujar un triángulo para que veamos cuánto debe de valer su base y cuánto debe de valer su altura voy a suponer que su base vale b esto es lo que vale la longitud de su base mientras que su altura va a valer h la longitud de su altura es h y yo sé que para sacar el área de un triángulo necesito la fórmula área es igual a un medio de base por altura hasta aquí todo lo hemos visto pero quiero que chequen el primer renglón de este problema que dice la altura de un triángulo es 4 centímetros menos que la longitud de su base es decir como la longitud de su base vale b entonces la altura es lo mismo que de menos 4 y entonces ya puedo yo plantear una ecuación cuadrática fíjense bien 30 que es el área que nos dice que tiene el triángulo 30 centímetros cuadrados es igual a un medio de la base un medio por la base por la altura pero la altura en este caso es igual a menos 4 por lo tanto en lugar de altura voy a sustituir el valor de la altura que es de menos 4 y entonces ahora si ya tengo una ecuación que resolver para b y perfecto porque ya tenemos la ecuación de este problema y es que muchas veces esto es lo más difícil de resolver un problema y entonces que quedan 30 es igual a un medio por b por b menos 4 y dejan de escribir lo mejor así así se va a ver mucho más claro primero voy a multiplicar el 2 medio por ver y me va a quedar de medios que multiplica a b menos 4 y ahora voy a distribuir el de medios por cada uno de los dos términos de este binomio y me queda b cuadrado de entre 4 no no no no nos pueden entre 2 hay que tener mucho cuidado y después me va a quedar menos 4 entre dos es 2 entonces me queda menos 2 b ya continuación para que no me quede este término debe cuadrada entre 2 y no me queden fracciones no tuve sed es multiplicar todo por 2 esta parte por 2 y esta parte por 22 por 30 y 60 es igual a 2 por b cuadrado entre 2 estos b cuadrada y 2 por todos son 4 entonces me queda menos 4 b y bueno recuerden que les he contado que lo mejor es ver las ecuaciones cuadráticas igualadas a cero por lo tanto lo que voy a hacer es restar de ambos lados de la ecuación 60 para que me quede una ecuación cuadrática igual a cero lo que tenemos que saber es el valor de esta ecuación por lo tanto menos 60 de un lado y menos 60 del otro 60 y 60 se van y me queda de cuadrada menos 4 b menos 60 y ahora si esto es igual a 0 y es justo lo que yo quería ya esta ecuación cuadrática la quiero resolver por el método de factorización es decir tras lo que voy está actualizar esta expresión que tengo aquí en dos binomios tales que al multiplicarse me den igual a cero lo que quiere decir que o el primer binomio cero o el segundo binomio cero lo cual me va a ayudar a resolver esta ecuación pero bueno para fac turista de esa expresión voy a buscar dos números que al sumar se me den menos 4 y al multiplicar se me den menos 60 así que vamos a notarlo me tienen que dar menos 4 y ya por ver me tiene que dar menos 62 números que suma 2 menos 4 y que multiplicados me den menos 60 y ya con esto se ve mucho más claro que es lo que quiero entonces ahora si lo primero que quiero que veamos es que a x b tiene que ser menos 60 por lo tanto uno de los dos números tiene que ser positivo y el otro tiene que ser negativo el 60 lo puede descomponer en 160 pero están muy lejos todos números pues si buscamos su diferencia es 59 y eso está muy lejos del -4 otra descomposición es 2 y 30 pero su diferencia es 28 y también sigue muy lejos 3 y 20 pero 20 menos 3 17 todavía seguimos muy lejos son números muy lejanos a ver vamos a ver 4 y 15 4 y 15 la diferencia es 15 menos 4 que es 11 también seguimos muy lejos 5 y 12 5 y 12 5 x 12 60 pero 12 5 es 7 ya nos vamos acercando ya nos vamos acercando a ver vamos a ver 6 6 que multiplica a 10 es 60 y 10 664 perfecto ya tengo aquí que es 6 y 10 solamente como mi resultado tiene que ser menos 4 el negativo para que gane tiene que ser el 10 entonces voy a quedar 6 y menos 10 y entonces esto ya me da pie a que yo pueda escribir esta ecuación de la siguiente manera de más 6 que multiplica a b menos 10 y ya estoy factor izando esta ecuación cuadrática que yo tenía aquí arriba y ahora sí ya tengo dos binomios que están multiplicando y que son igual a cero y bueno hay que tener mucho cuidado porque esta vez no es lo mismo que esta vez esta vez significa la longitud de mi base y esta vez lo puse para poner los números que buscábamos es más no me gustaría que nos confundiremos buscábamos dos números que su suma tenía que ser igual a menos 4 y que su multiplicación tuviera que ser menos 60 y no tienen nada que ver con la base de mi triángulo así que mejor no voy a poner como x y 10 x es igual a menos 4 y x x y es igual a menos 60 pero en fin también otra cosa que les quería comentar es que esta misma factorización pudimos obtenerla por agrupación sin embargo ya que la obtenemos ahora qué vamos a hacer tenemos dos binomios que multiplicaban los lanceros y dos cosas multiplicarán los lanceros y la primera cero o en su dado caso la segunda es cero si la primera fuera cero entonces me quedaría que más 6 es igual a 0 y si la segunda fuera 0 me quedaría que menos 10 es igual a 0 y bueno ya de aquí puedo resolver para ver me va a quedar que b es igual a menos 6 o en su dado caso si yo paso el 10 del otro lado no va a quedar que b es igual a 10 pero positivo y ya que tengo mis dos raíces o mis dos soluciones de esta ecuación tanto b igual a menos 6 como b igual a 10 solucionan esta ecuación cuadrática que yo tenía aquí y ya llegué al resultado no hay que tener cuidado porque también es muy importante revisar que mi solución sea congruente con lo que se está planteando en el problema pero antes que eso déjame ponerlo también aquí por agrupación para qué y llegamos al mismo resultado que la 0 es igual a b cuadrada 6 b que era uno de los dos números que habíamos encontrado menos 10 b el cual era el otro número que habíamos encontrado menos 60 y entonces voy a factorizar los primeros dos términos de esta ecuación y le voy a sacar factor común el factor común es b que multiplica de más 6 y en los otros dos términos también le voy a sacar factor común y es factor común es menos 10 que multiplica de más 6 y aquí si te das cuenta tengo ve más 6 y demás 6 demás leyes por lo tanto es un factor común de esta expresión que tengo aquí por lo tanto me va a quedar de menos 10 que multiplica además 6 porque de más 6 era factor común y los otros dos términos eran b y menos 10 y si te das cuenta llegamos a lo mismo aquí está muy factor común y me queda b menos 10 que multiplica además 6 que era justo lo que teníamos aquí abajo solamente que que abajo lo hicimos en un solo paso es lo mismo tú puedes utilizar el método que más te sirva o en el cual te acomodes mejor y bueno ya que tengo mis dos posibles resultados debe quiero ver cuál es congruente con el problema porque date cuenta si le vas -6 entonces esto no tendrá sentido porque tendríamos un lado negativo y no conozco ningún triángulo con lados negativos no podemos tener longitudes negativas y si b vale 10 entonces sí nos queda de resultado por lo tanto esto lo voy a tachar este no me sirve porque no tenemos lados negativos y me quedo con que b es igual a 10 y sirve vale 10 eso quiere decir que la base vale 10 y entonces la altura vale 10 menos 4 lo cuales seis ya tengo que la altura vale 6 la base vale 10 y sería bueno rectificar si realmente estamos haciendo el procedimiento correcto me quedaría 10 por 6 me da 60 60 entre 2 son 30 centímetros cuadrados y perfecto logramos resolver este problema