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Demostración del teorema de Stokes (parte 4)

Empezar a trabajar en la integral de línea sobre la superficie. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

continuemos con nuestra demostración del teorema de stocks y esta vez vamos a enfocarnos en el otro lado del teorema del lado izquierdo así que vamos a intentar descubrir cuál es la integral del ine a lo largo de esta frontera sé que de hecho es la frontera de nuestra superficie ese entonces lo que vamos a tratar de descubrir es ahora quién es la integral de f punto de r a lo largo de nuestra curva sé que es justo esta frontera ok entonces queremos nos gustaría mucho que esto fuera igual a esta expresión de acá arriba pero bueno vamos a borrarlo por ahorita sólo hay que recordar a donde nos gustaría llegar ok entonces lo que vamos a hacer primero es fijarnos en esta trayectoria que define digamos a la región r ok está esta curva digamos ajá que vamos a recorrer para definir qué es la que bordea la frontera de nuestra de nuestra región r digamos que ésta curva vamos a llamar c 1 ok entonces tienes c1 c1 vamos a poder parametrizar la de la siguiente forma vamos a tener hace uno que tiene esencialmente como es es tiene dos parámetros xy pues vamos a parametrizar lo con con digamos el parámetro t entonces nuestra coordenada x en realidad vamos a entenderla como una función de nuestro parámetro te vamos a este simbólico de tres líneas significa que vamos a entenderlo de esta forma y también vamos a entender hay como una función que también depende de nuestro parámetro t ok y simplemente vamos a decir que te está entre dos valores ahí ve sólo que digamos si aquí empezamos en nada vamos a recorrer a medida que te aumenta aunque y vamos a recorrerlo hasta regresar al punto inicial ok entonces x que valen lo mismo al evaluarlos en a que al evaluarlos en be ok entonces con esto dicho vamos a hacer también uno repaso vamos a hacer un repaso tomando un campo vectorial cualquiera digamos g ok este es un campo vectorial así que está hecho de dos funciones dos funciones digamos a este campo vectorial está en el plano entonces este campo vectorial está hecho de dos funciones digamos m que depende de x y en nuestra primera coordenada y hay que sumarle una función n que depende también de xy de y en nuestra segunda coordenada entonces con esto dicho vamos a ver quién es nuestra nuestra derivada de r ok quienes se reparen bueno déjenme déjenme primero decir que es lo que vamos a hacer con esto porque r es digamos la la parametrización que vamos a dar de nuestra curva c 1 ok entonces br es igual a de x por i + d y por j ok estamos hablando en términos diferenciales entonces lo que vamos a querer hacer es calcular la integral la integral a lo largo de nuestra curva c1 ok vamos solo esto es acuerdense sólo es un repaso vamos a ver quién es la integral de g y de hecho como se 1 es una curva cerrada a mí me gusta poner lo digamos con este simbólico como justo de curva cerrada entonces vamos a hacer la integral de línea sobre esta curva cerrada deje punto de r ok de r donde de r pues es justamente la diferencial desde la de la curva parametrizar hace 1 entonces esto simplemente será igual a la integral a lo largo de c1 c1 y como es otra vez una curva cerrada le ponemos esto de m.de x ok punto de x + en el punto de aquí ya estamos pensando en multiplicaciones es decir aquí era un producto en un producto punto entre dos vectores que es un vector es un campo escalar que multiplica de r que también es un vector digamos diferencial entonces cuando multiplicamos coordenada coordenada tenemos m por de x + n por d pero aquí estamos multiplicando números reales entonces quién es esto esto esencialmente es la integral la integral de hecho déjenme ponerlo así porque la de x déjenme ponerlo como por aquí la de x lo podemos ver como la derivada de x respecto del tiempo por la diferencial del tiempo verdad es más o menos podemos decir que estas dos cosas se cancelan y que de ella es la derivada de ye respecto de t por la diferencial del tiempo entonces cuando nosotros expresamos esto mismo acá abajo lo que nos va a permitir pasarnos al lado de los parámetros nos lleva al dominio de los parámetros entonces aquí vamos a poder escribir m que multiplica déjenme ponerlo de esta forma digamos con estos colores de x a la derivada de x respecto de t vamos a ponerlo así dt más + n que multiplica a la derivada de y respecto de t dt ok entonces con esto he hecho de esta forma ya estamos en el dominio de los parámetros donde se mueve el parámetro t pues entre a y b y esto ya es una integral sencillísima de lo que ya hemos visto mucho en techo en vídeos mucho más anteriores verdad así que esto sólo es un repasito breve que nos va a servir para hacernos más intuitivo el problema entonces vamos ahora realmente con la parametrización de la curva sé que es esta que de final o que que es la frontera de nuestra superficie ese entonces esta curva en realidad es es como la imagen de esta que está acá abajo al aplicarle la función verdad sus coordenadas x y que son las mismas sólo que vamos a elevarla digamos con la función zeta verdad esta función zeta aquí habíamos definido nuestra función zeta de xy entonces al aplicar zeta de xy ya a nuestra curva no es como obtenemos la curva se entonces dicho esto nuestra curva se nuestra curva se esencialmente está parametrizar de la siguiente forma vamos a parametrizar lo digamos de forma vectorial tenemos una función vectorial o de posición r dt que en su primera coordenada dijimos que iba a ser x verdad x dt más en su segunda coordenada será 7 esto es en la segunda coordenada y en la tercera coordenada dijimos que vamos a elevar esta curva por la función zeta entonces va a ser z evaluada en x que depende de t coma ya que depende de t correcto esto en el en la dirección del vector unitario acá y nuevamente estamos suponiendo que el parámetro t se mueve entre a y b así que ahí tenemos la parametrización y ahora podemos empezar a pensar en la integral de línea de f punto de r a lo largo de esta trayectoria c ok así que ya hemos ya hemos dado con la ayuda de c-1 está esta curva que rodea a la región r una parametrización de c aquí los voy a dejar y nos vemos en el próximo vídeo