La fórmula de la curvatura (parte 5)

entonces bueno sigamos donde nos quedamos estamos estudiando esta fórmula intentando entender por qué corresponde a curvatura es decir porque nos dice cuánto se curva una curva y ya estudiamos la parte del numerador y vimos que corresponde a un producto cruz el producto cruz entre la primera derivada y la segunda derivada de la función que parametrizar a la curva y empezamos a entender eso porque vimos que la función que paramétrica a la curva sdt produce vectores cuyas puntas trazan la curva y si pensamos en como una punta de un vector se mueve al siguiente la dirección en la que tiene que moverse para que esa punta se mueva a la siguiente punta se nos indica con la primera derivada y cuando lo ves de manera infinitesimal podrás entender que esa es la razón por la que obtienes vectores tangentes sobre la curva de hecho tenemos vídeos que hablan sobre eso puedes verlo si tú gustas de hecho son vídeos sobre funciones que nos explican porque la primera derivada de una función paramétrica nos da vectores tangentes a la curva pero si dibujamos todos estos vectores tangentes en un espacio ese prima de t obtienes todos estos vectores enraizados en un mismo punto ajá y la manera en la que te mueves de la punta de uno de esos vectores al siguiente estado por la segunda derivada y si tienes el caso en el que los vectores tangentes están girando que simboliza cuando tu curva está girando este caso corresponde a cuando la función de la segunda derivada queda perpendicular como vector al vector de la primera derivada y esa es la razón por la cual el producto cruz es una buena medida de la curvatura porque te dice o te indica si estos vectores son perpendiculares o casi perpendiculares pero observa la fórmula original de la curvatura la razón por la que estamos haciendo esto con respecto a la longitud de arco y no con respecto al parámetro t es porque a la curvatura no le importa como para mí trizas la función si imaginas avanzar por la curva muy muy rápido tal que tus vectores tangentes quedan muy largos eso no debe importar porque da lo mismo si avanzas rápido o si avanzas lento por la curva eso no importa la curvatura siempre se mantiene siempre es la misma pero ahora observa el producto cruz estamos tomando el producto cruz entre la primera derivada y la segunda derivada porque si avanzarás tu por la curva al doble de la velocidad eso querría decir que tu vector de la primera derivada tendría el doble de largo indicando que base el doble de rápido ajá y de manera similar el vector de la segunda derivada como el cambio se mantiene también este vector de la segunda derivada tendrá el doble del tamaño y como resultado el paralelogramo que forman tendrá cuatro veces el tamaño porque recuerda que ambos vectores subieron de escala al doble de largo ajá entonces por eso este paralelogramo tendrá cuatro veces el tamaño y ahora por eso estamos normalizando esto porque estamos pensando en términos de vectores unitarios vectores unitarios tangentes en toda la curvatura entonces si cortará los vectores para que tengan una longitud de 1 es decir tomar al vector de la primera derivada y lo divides entre su propia magnitud o su propia norma y de hecho similarmente para el otro vector porque quieres todo a la misma medida que todo tenga la misma escala entonces el paralelogramo resultante nos da más información de qué tan perpendiculares están estos dos vectores unitarios sin importar qué tan largos estén y este vector es el de la segunda derivada normalizado no con el mismo no con el mismo sino como estamos haciendo todo a escala lo dividimos entre la norma del vector de la primera derivada entonces éste cruz / el vector s prima normalizado por el mismo por el vector s prima producto cruz con el vector s b prima y a éste lo ponemos a escala del mismo valor entonces lo dividimos entre la norma de s prima esto nos da una mayor precisión de qué tan perpendiculares son los vectores de la primera derivada y de la segunda derivada y no normalizamos al vector de la segunda derivada porque así así fuera el caso y la segunda derivada no fuera necesariamente de longitud 1 bueno eso no importa tanto porque eso simplemente nos dice que el vector tangente gira más rápido ajá y de hecho toda esta expresión es la derivada del vector unitario tangente t con respecto al parámetro t ahora ya había hablado sobre esto en vídeos anteriores no recuerdo si fue el anterior o el anterior a ese que cuando buscamos la derivada de este vector tangente con respecto a la longitud de arco la manera de calcular esto es primero tomar la derivada con respecto al parámetro lo cual es posible pues todo está expresado en términos de ese parámetro y luego lo dividimos entre el cambio de la longitud de arco con respecto a ese parámetro que es el tamaño del vector de la primera derivada entonces si todo esto es la derivada del vector tangente con respecto a t cuando tomamos esto y lo dividimos y lo dividimos todo entre la norma de s prima eso nos dará la curvatura eso es curvatura eso es curvatura aquí ves la magnitud de ese y también aquí ves la magnitud de ese y aquí también y bueno como la vemos tres veces lo pondré en el denominador pero lo voy a elevar al cubo entonces la magnitud de ese prima pero elevada al cubo y en el numerador pongo ese prima producto cruz con ese mi prima esta es otra fórmula para curvatura hasta ahora hemos visto varias regresemos a la original veamos la original aquí tenemos la original observa lo que hay en el denominador si tomamos x prima al cuadrado más ye prima al cuadrado y le sacamos raíz a eso eso sería la magnitud de la derivada pero la elevamos al cubo eso está expresando esta idea estás tomando el producto cruz entre la primera derivada y la segunda derivada y como lo estás normalizando con respecto a la primera derivada quieres poner a escala la segunda derivada para que así el paralelogramo se encoja y todo se mantenga en posición y una vez más estamos dividiendo entre la longitud de arco básicamente porque la curvatura debe ser con respecto a ese y no con respecto a t y bueno espero que esto haga de esta fórmula que parece un tanto más complicada un poco más sencilla de entender ahora aquí ya tienes varias maneras de ver cuál es la curvatura de una curva o cómo entenderla y en los próximos vídeos veremos ejemplos más específicos