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Using specific values to test for inverses

Are two functions inverses? Even one counterexample can show that they are not. How many examples would it take to show that they really are inverses? Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

En este video, vamos a pensar un poco más  en las funciones inversas, vamos a pensar   si una función es la inversa de otra función, y  específicamente vamos a pensar en si podemos saber   esto observando unos pocos valores de entrada y  unos pocos valores de salida para las funciones. Así que por ejemplo, digamos que tenemos  f de x es igual a x al cuadrado más tres,   y digamos que g de x es igual a la raíz  cuadrada, la raíz principal de x menos tres. Pausa este video y piensa si  f y g son funciones inversas. Muy bien, una forma de saberlo  podría ser probar algunos valores. Así que, por ejemplo, déjame hacer  una pequeña tabla aquí para f,  tenemos x y f de x. Y luego  déjame hacer lo mismo para g,  tenemos x y luego tenemos g de x. Primero vamos a probar con un valor sencillo.  Probemos con el valor uno, ¿cuánto es f de uno? Bueno, va a ser uno al cuadrado más tres.  Es decir, uno más tres, que es cuatro. Y por lo tanto, si g es inversa de f, al  introducir un cuatro aquí, deberíamos obtener uno. Ahora, eso no probaría que son funciones  inversas, pero si son funciones inversas,   entonces debería ocurrir exactamente esto. Así que veamos si eso es cierto. Si sustituimos  el valor de cuatro por aquí, cuatro menos tres   es uno. Y la raíz principal de uno es  uno, así que eso se ve bastante bien. Perfecto, ahora probemos con otro valor.   Intentemos con dos. Dos al  cuadrado más tres es siete. Y si ahora sustituimos el valor  de 7 por aquí tendremos que   siete menos tres es cuatro. La raíz  principal de cuatro es dos. Así que,   hasta ahora se ve bastante bien. ¿Pero qué  pasa si probamos con un valor negativo? Pausa el video y piensa en ello. Bien, vamos a hacerlo. Pongamos el  valor de x= –2 justo aquí. Ahora,   –2 al cuadrado es cuatro positivo, más  tres es siete, así que tengo siete aquí. Pero ya sabemos que cuando el valor de  entrada en g es siete, no obtenemos –2,   obtenemos 2. De hecho, no hay manera  de obtener –2 en esta función de aquí. Es decir, acabamos de encontrar un caso, y  francamente lo mismo ocurrirá con cualquier número   negativo, en el que se puede demostrar que estas  dos funciones no son inversas. No son inversas. Así que en funciones como estas,  especialmente las funciones que se   definen en un número infinito de valores, y  que son funciones continuas en un intervalo,   el uso de puntos específicos nos puede ayudar  a determinar que no son funciones inversas, pero, cuidado, en realidad no se pueden  usar valores específicos para demostrar   que en efecto sí son funciones inversas ya que  hay un número infinito de valores de entrada   que podríamos usar en estas funciones  y no hay forma de probarlos todos. Por ejemplo, si pensamos en  otras funciones muy simples,   si te dijera que h de x es igual a cuatro x, y  supongamos que j de x es igual a x sobre cuatro. Nosotros sabemos que, en efecto, estas dos  son funciones inversas. Lo demostraremos de   otras formas en futuros videos, pero,  cuidado no podemos probar cada uno de   los valores de entrada y observar cada valor  de salida para ponerlo como valor de entrada   de nuevo por aquí y después obtener un  valor de salida final. ¡Son infinitos! Así que necesitamos alguna otra técnica  que no sea simplemente observar valores   específicos para demostrar que  dos funciones son inversas. Aunque, de nuevo, mucho ojo, sí se  pueden utilizar valores específicos   para demostrar que NO son funciones inversas.