Proceso de Poisson 2

yo creo que ahora que tenemos todas las herramientas que necesitamos podemos ir más adelante pero solo como un pequeño repaso del último vídeo donde tratamos de modelar una distribución de probabilidad donde nos preguntábamos cuántos carros aproximadamente pasarían en una hora y lo primero que hicimos fue decir bueno hay que buscar como una intersección con la cual podamos después encontrar una bonita expresión del valor esperado de nuestra variable aleatoria y esta variable aleatoria solo regresando un poco al inicio nosotros definimos nuestra variable aleatoria como el número de carros que pasan en una hora cierto y dijimos que ya sabíamos que había bastantes horas con las cuales obtuvimos una buena estimación a la cual la llamamos landa entonces nos interesa modelar como una distribución binomial todo esto por lo que si es una distribución binomial landa va a ser igual al número de ensayos por la probabilidad de éxito de ensayos entonces lambda es el número total de éxito en una hora y esto debería de ser igual a los éxitos en un pequeño intervalo entonces esta es la probabilidad de éxito en el pequeño intervalo y en el último vídeo nosotros tratamos de ir razonando y describiendo todo esto y entonces este intervalo al principio dijimos que lo dividiremos como por minuto pero luego pensamos qué tal si pasan más de un carro en un minuto entonces ellos dijeron oh déjame ver cómo puedo mejorar esta probabilidad por segundo pero luego vuelve a surgir la pregunta o el problema qué pasaría si un carro más de un carro pasa por segundo y entonces es muy sencillo pues lo que querías hacer es tomar el límite conforme éste se aproxima a infinito conforme n se aproxima a infinito y luego ver qué tipo de fórmula obtenemos de las matemáticas y así podríamos ver cuál es la probabilidad de que x sea igual a algún número la probabilidad de que dicha variable aleatoria sea igual a no sé tres carros en una hora particular tres carros en una hora en específico bueno primero tomando el límite cuando n tiende a infinito de las combinaciones de n en k pues vamos a tener cada momentos en el tiempo donde n tiende a infinito y estos intervalos se van a ir volviendo súper pequeño cierto así que esto se convierte en momentos al tiempo entonces nosotros vamos a tener momentos de tiempo infinitos y este es el número de éxitos cuando una auto pasa así que podemos tener tres momentos y la probabilidad de éxito es cuando un auto pase entonces puedes tener siete momentos durante una hora o tres autos o tres momentos durante una hora por lo que ahora terminando con nuestra distribución binomial de n momento se eligen cada por la probabilidad de éxito y cuál es esta probabilidad de éxito bien pega que va a ser igual que va a ser igual a lambda sobre n cierto entonces esto va a ser sólo dejarlo reescribo aquí abajo que es igual a lambda sobre n sólo estoy reorganizando esto aquí ok entonces la probabilidad de p es igual al anda sobre n y luego si tuvimos acá éxitos esto va a ser l sobre n al acá y entonces cuál es la probabilidad de que fallamos sería uno menos lambda sobre n y esto a que lo vamos a elevar va a ser cada éxitos y en total teníamos en ensayos entonces lo que nos resta sería n menos k 1 - lambda sobre n n menos cara y luego déjame no cambio de color reescribiendo esto en su forma desarrollada vamos a tener el límite cuando n se aproxima infinito dm factorial sobre n menos k factorial por k factorial sólo lo estoy desarrollando ok por landa a la k aquí va voy a usar las propiedades de los exponentes sobre n al acá y esto va a ser igual a 1 - holanda sobre n a la n menos acá pero de hecho podemos separarla con la ley de los exponentes tenemos la misma base podemos hacer que ambos exponentes si los llegamos a multiplicar se sumen y nos quede lo mismo y ahora déjenme simplificar solo un poco más y aquí vamos a intercambiar estos dos puede hacer una especie de vista con estos dos como el denominador así que puedes cambiar el orden de la división o de la multiplicación dependiendo como te convenga entonces esto es igual hay aquí este color verde no me gustó pero bueno vamos a reescribir primero esta expresión como lo hicimos en el vídeo pasado vale y lo mostramos cómo sigue quienes factorial es igual a n por n menos 1 por md menos 2 hasta n menos camas 1 y entonces por ejemplo si tuviéramos que em es igual a 7 tendríamos 7 factorial sobre 7 menos 2 factorial por dos factores y tendrías aquí siete menos 6 cierto y 6 es uno más que 7 menos 2 y eso fue justo lo que hicimos en el vídeo anterior por si sientes algo de confusión vamos a tomarlo otra entonces exactamente tienes acá términos aquí y ten cuidado solamente estamos reescribiendo esto que puse en color como rosa entonces luego al intercambiar estos dos vamos a tener todo esto dividido entre n al acá por al cambiar esto por la and al acá sobre cada factoría y luego entonces que tendríamos aquí vamos a tener bueno vamos a reescribir todo esto más bien a continuar con todo esto digamos que están sobre la misma línea y vamos ahora sí a tomar el límite si tomas el límite esta va a ser otra propiedad entonces no te sientas tan abrumado pues es otra propiedad de los límites si tomas el límite cuando x se aproxima a cualquier cosa de fx por gd x esto va a ser igual al límite cuando x se aproxima a de fx por el límite cuando de que se aproxima a de eje x entonces podemos tomar dichos límites de el proceso y luego multiplicarlos y así obtendríamos todo entonces hagamos esto de aquí primero que todo que es este límite déjame hacerlo y vamos a ocupar otro color amarillo y bueno entonces el límite cuando n se aproxima a infinito y por tanto esto de aquí es n por n menos 1 por n menos 2 y todos hasta llegar a n menos k que van a realizar al meterle el límite estamos multiplicando un bonche de binomio y entonces lo que estamos haciendo es multiplicarlos cada vez es cierto entonces a lo largo este término va a hacer n a la cada cierto más un buen de cosas va a ser n a la k más bla bla bla bla bla que van a ser todos estos términos que van a estar después y van a ser más pequeños que n al acá y en el denominador vamos a tener en el acá soy reescribiendo por lambda al acá pero bueno más bien vamos a hacer el límite cuando n s aproximada infinito pero esto se vuelve una constante pues no tenemos ninguna n en este término entonces simplemente dejamos por landa a la k por k factorial y entonces ahí si viene el límite cuando en esa próxima a infinito de las expresiones de abajo que es 1 - landa sobre n a la n y 1 - lambda sobre n a la menos k sí ya sé que esto no se está viendo muy claro pero simplemente estamos reescribiendo lo que teníamos en la parte superior entonces aquí tenemos n a la k más blablabla una serie de cosas pero esta parte del numerador es igual a la parte del denominador entonces estos dos se van a cancelar y nos va a quedar 1 entonces dicho coeficiente se vuelve uno y otra forma de hacer esto es que podemos dividir el numerador y el denominador por n al acá y entonces obtendríamos 1 más 1 sobre n más 1 sobre cualquier otra cosa solamente hay que dividir el 1 sobre n al acá de las diferentes en las que tenemos entonces este límite cuando lo metemos nos queda 1 por el límite de toda esa serie y entonces esa serie tiende a cero pues n tiende a infinito y uno sobre un número grande se va a cero entonces es uno portland al acaso break a factoría y esta parte de aquí hay que trabajarla pues lo que voy a escribir en esta parte de la esquina superior izquierda es igual al límite cuando n se aproxima a infinito de uno más a sobre n a la n es igual a la y si te das cuenta es exactamente lo mismo sólo que aquí en lugar de tener a vamos a tener menos landa entonces esto va a ser igual a la menos blanda y esta parte de acá que va a pasar con esta parte bien pues tenemos que es uno menos lambda sobre n a la menos acá y al meter el límite en esta expresión n tiende a infinito entonces esto se vuelve cero y entonces tenemos 1 a la menos acá y 1 elevado a cualquier potencia es igual a 1 entonces tenemos un 1 otra vez por acá y si te das cuenta todo se reduce bastante bien es algo bastante entonces esto la probabilidad de que x como variable aleatoria del número de carros que pasan en una hora es igual a un número en particular donde si fuera 7 si fueran 7 carros los que pasan en una hora esto sería igual a el límite cuando n se aproxima a infinito de n en cada por lambda sobre en el acá éxitos por el número de fallas que sería uno menos lambda sobre n a la n menos k y como lo desarrollamos hacia un momento todo esto se reduce a hacer la anda a la ca sobre k factorial por ea la menos lambda y en realidad este resultado es bastante bueno aquí quizás no se le dé forma o no hay fe no hay manera de poder desarrollar con el teorema del binomio pero no hay ningún problema tú también tienes conocimientos acerca de los factoriales cuando tienes un número factorial y entonces todo esto se reduce conforme metes el límite y en esa próxima a infinito hacerla líder entonces está perfecto de hecho esto tiene demasiada semejanza cuando en finanzas utilizan interés compuesto pues también utilizando esta fórmula de aquí arriba el interés compuesto tiende a comportarse como una exponencial pero bueno esos son otros temas y regresando a esto en realidad sólo importa que sepas usar dicha fórmula entonces digamos que lambda es igual a 9 que es el promedio de carros que esperamos que pasen durante una hora y entonces ésta sería la probabilidad de bueno en realidad lambda es mi valor esperado esperamos que pasen 9 autos en una hora pero aquí nos interesa saber la probabilidad de que en una hora pasen exactamente 2 autos esto sería igual a sustituyendo en la fórmula 9 al cuadrado sobre 2 factorial por ea la menos lambda que es 9 y esto será igual a 81 sobre dos factores al que es 2 por ea la menos 9 y sería buena idea hacer una gráfica y ver qué pasa con esto o meterlo la calculadora y obtener el resultado exacto pero te lo dejo de tarea nos vemos en el próximo vídeo