Desintegración exponencial y gráficas semilogarítmicas

aquí tenemos una gráfica del decaimiento exponencial donde n se refiere al número de núcleos radiactivos como función del tiempo muy bien y la ecuación que se encuentra por acá arriba es justamente la que describe la gráfica que tenemos de este lado así que la ecuación nos dice que el número de núcleos radiactivos en cada momento del tiempo t es igual a n 0 que representa el número de núcleos al inicio que multiplica a el elevado a la menos lambda donde cabe aclarar que el lambda es la constante de decaimiento es la constante de decaimiento y como su nombre dice es una constante es un número fijo y que por eso muchas personas les gusta escribirlo con una letra k verdad podemos llamarle acá por ejemplo si estamos pensando en una tasa constante pero bueno lo importante es que solo es una constante y luego lambda hay que multiplicarlo por t que en este caso representa al tiempo y digamos que quisiéramos encontrar quién es este valor que se encuentra aquí arriba es decir donde la intersecta al eje vertical verdad entonces lo único que tenemos que fijarnos es que eso corresponde a cuando el tiempo es igual a 0 cuando la variable t es igual a 0 entonces si te es igual a 0 lo único que tenemos que hacer es digamos colocarlo dentro de la ecuación y podríamos calcularlo así que el número de núcleos al tiempo cero será igual a n 0 x era la menos lambda que multiplica a cero es decir n cero será igual más bien en evaluado en cero será n sub 0 por e a la 0 verdad menos lambda por 0 es simplemente cero y cualquier número elevado a la cero es 1 así que el número de núcleos al tiempo cero es justamente lo que conocemos como n 0 por eso es que decimos que n 0 es el número de núcleos radiactivos que teníamos inicialmente muy bien así que esta altura de aquí digamos es justamente n 0 y en realidad podríamos haber hecho exactamente lo mismo con cuál el valor del tiempo verdad si nos fijamos en un valor del tiempo particular que nos interese nos fijamos en la gráfica verdad y vemos cuál es el valor de el número de núcleos para ese valor del tiempo verdad entonces aquí sería el valor n en particular podríamos haberlo hecho para el valor de la vida media y recordemos quién es la vida media la vida media que la vamos a denotar como de un medio es un valor del tiempo para el cual el número de núcleos radioactivos sería la mitad de los que teníamos inicialmente entonces en este caso el número de núcleos radiactivos sería los que teníamos inicialmente dividido entre 2 muy bien sería la mitad de lo que teníamos inicialmente es decir lo que nos resta es la mitad de lo que teníamos inicialmente muy bien así que fijémonos en nuestra gráfica fijémonos en n 0 y dividamos esta altura entre 2 entonces digamos más o menos aquí se encuentra de n 0 y si nos vamos a la gráfica y después caemos hacia el eje del tiempo aquí tendremos el valor de un medio muy bien la vida media de este tipo de núcleos muy bien así que vamos a tomar estos dos números y vamos a considerarlos en nuestra ecuación del decaimiento exponencial verdad y de hecho vamos a ponerle un poquito más abajo vamos a ponerlo aquí copiamos la ecuación tenemos que en ete n dt s n 0 x a la menos lambda t muy bien entonces lo que vamos a hacer es ahora sustituir este valor del tiempo de este lado y vamos a sustituir este valor de n del lado izquierdo y vamos a ver qué es lo que obtenemos entonces tendremos lo siguiente del lado izquierdo tendremos en 0 entre 2 que será igual a n 0 x era la menos lambda un medio muy bien y si nos fijamos podemos simplificar esta expresión verdad porque podemos dividir entre n 0 de ambos lados y eso hace que se cancelen y lo que nos resta es lo siguiente un medio será igual a ea la menos lambda de un medio verdad la vida media y ahora qué es lo que podemos hacer con esto ahora lo que podemos hacer es calcular el logaritmo natural de ambos lados tendremos logaritmo natural de un medio sería igual al logaritmo natural de ea la menos lambda de un medio y porque el logaritmo natural bueno pues porque el logaritmo natural cancela la exponencial verdad cuánto será el logaritmo natural de un medio podemos sacar la calculadora calculamos logaritmo natural de un medio 1 entre 2 muy bien y eso nos da menos 0.6 93 vamos a dejarlo menos cero menos 0.6 93 y esto será igual al logaritmo del exponencial se cancelan y nos queda menos de un medio entonces simplemente podemos deshacernos de los signos negativos verdad multiplicando por menos uno de ambos lados y tendremos 0.6 93 igual a lambda de un medio aquí viene lo interesante podríamos decir quién es la vida media en términos de la constante de decaimiento verdad por un lado si dividimos entre lambda de ambos lados tendremos que la vida media será 0.6 93 dividido entre lambda muy bien esta sería la expresión de la vida media en términos de la constante de decaimiento pero al mismo tiempo podríamos determinar quién es la constante de decaimiento en términos de la vida media verdad simplemente de la expresión anterior dividimos entre la vida media de ambos lados y obtendremos que la constante de decaimiento sería 0.6 93 dividido entre un medio verdad entonces lo que podemos observar de estas dos expresiones es que en tanto nosotros tengamos la información de la vida media podemos calcular la constante de decaimiento o al revés si tenemos la constante década de decaimiento podríamos calcular la vida media muy bien vamos a hablar ahora de las gráficas semi logarítmicas aunque que es otra forma de fijarnos en la información en los datos así que vamos a hacer un poco de espacio hagamos un poco de espacio voy a reescribir la ecuación que ya teníamos el número de núcleos radioactivos al tiempo que será el número de núcleos iniciales por qué a la menos la constante de decaimiento por el tiempo muy bien ahora lo que vamos a hacer con esta expresión es tratar de convertirla en una línea recta así que lo que tenemos que hacer es dividir entre n 0 de ambos lados muy bien tendremos n dividido entre n 0 será igual a a la menos lambda y ahora vamos a usar el logaritmo natural nuevamente verdad tendremos logaritmo natural de n dividido entre n 0 es el logaritmo natural de la exponencial elevado a la menos lambda t muy bien entonces tendremos que el logaritmo natural y la exponencial se cancelan y del lado izquierdo podemos usar propiedades del logaritmo logaritmo de un cociente es el es la resta de los logaritmos muy bien entonces tendremos logaritmo de n - logaritmo de n 0 es igual a menos lambda de muy bien y finalmente sumamos el logaritmo natural de n 0 de ambos lados y tendremos que el logaritmo natural de n es menos lambda t más el logaritmo natural de n 0 y si somos muy observadores esto ya tiene una forma como de una recta si recordamos las rectas tienen la forma de igual a mx más b cierto entonces a que corresponde cada una de estas expresiones con respecto a lo que tenemos en la recta bueno en nuestra variable que corresponde a el logaritmo natural de n verdad en este caso la pendiente que es la variable m corresponde a menos lambda y t que es la variable del tiempo corresponde a x finalmente la constante b corresponde al logaritmo natural de n 0 entonces esto se puede ver como una recta y una de las variables importantes de las rectas es la variable m verdad que es la pendiente de esta recta muy bien y recordemos también de paso que la constante b corresponde a la ordenada al origen de la recta así que vamos a esbozar rápidamente cómo se ve esta gráfica digamos tenemos aquí el eje vertical y el eje horizontal muy bien digamos en el eje horizontal voy a poner entre paréntesis x y pongo entre paréntesis x porque no nos interesa x nos interesa la variable que tenemos acá arriba verdad que esté la variable t es la que nos interesa mientras que en el eje vertical que voy a poner entre paréntesis en realidad la variable que nos interesa es logaritmo natural de n muy bien y entonces vemos que la ordenada al origen es decir donde intersectan la recta a este eje tendré el valor de logaritmo natural de n 0 y eso es muy fácil de ver simplemente lo podemos demostrar rápidamente si te vale 0 tendremos que el logaritmo natural de n será igual a menos lambda por 0 más el logaritmo natural de n 0 pero bueno menos lambda por 0 nos da cero y nos queda que entonces el logaritmo natural de n es el logaritmo natural de n 0 entonces este punto es la ordenada al origen y después trazamos nuestra recta que tiene una pendiente negativa verdad de hecho tiene una pendiente menos lambda esta recta tiene una pendiente que de hecho sabemos cómo calcularlo verdad es el cambio en g dividido entre el cambio en x y eso es menos lambda entonces lo que hemos graficado aquí es justamente una gráfica semi logaría a veces solo se dice se me love y es se me love porque por un lado tenemos la variable normal y en el otro eje tenemos el logaritmo natural verdad estamos comparando la variable original contra el logaritmo natural de la otra variable y eso nos da mucha información verdad es sólo otra forma de fijarnos en los datos podríamos calcular la pendiente de esta línea recta y esa pendiente sería menos lambda verdad si tomamos el digamos está pendiente con número negativo lo que nos indica es la constante de decaimiento muy bien entonces la constante de decaimiento se puede obtener aquí y con esto podemos obtener la vida media así que nuevamente para remarcar las gráficas semi logarítmicas son una forma distinta de fijarnos en los datos