Raíces repetidas de la ecuación característica

en este vídeo vamos a seguir analizando las ecuaciones diferenciales de segundo orden pero esta vez con raíces repetidas vamos a ver un ejemplo para que quede todo muy claro supongamos que tengo mi prima más 4 y prima más 4 james y esto lo igual a cero lo primero que hemos hecho siempre en cada vídeo anterior es sacar de una vez la ecuación característica asociada es decir es re cuadrada más 4r más 4 y esto igual a 0 y de ahí saca sus raíces pero si se dan cuenta esta ecuación característica es muy fácil actualizarla estos ere 2 x r 2 y esto tiene que ser igual a cero es decir que esto es r matos al cuadrado al menos sabemos que tenemos una raíz que raíz pues es igual a menos 2 y ustedes me van a decir bueno usar pues entonces qué hacemos con otra raíz como la inventamos o que no eso es lo que vamos a analizar en el transcurso de este vídeo entonces lo que sí podría decir es que tal vez tendría una solución de este estilo una constante por la primera raíz por equis a la primera y única raíz por equis pero lo que sí quiero que vean es que esta no es mi solución general de mi ecuación diferencial de segundo orden y porque no es la solución general porque lo digo esa sería una muy buena pregunta pero lo que sí quiero que vean es que esta ecuación general no podría cumplir simultáneamente las dos condiciones iniciales es decir no puede existir una c para la cual se cumplirán ambas condiciones esenciales supongamos como siempre que mis condiciones iniciales son que de cero y de prima de cero bien lo que sí quiero que se den cuenta es que si nosotros tratamos de poner esta función o esta solución particular en esta ecuación diferencial y además intentamos que cumplan las dos condiciones esenciales esto no va a ser posible y de hecho yo digo que sería muy bueno probarlo se me ocurre tal vez darle valores de cero pero qué valores le puedo dar tiene que ser un número cualquiera para que para que no cumpla mis dos condiciones iniciales al mismo tiempo pero cómo puedo yo decir que es un número cualquiera supongamos no se me ocurre que ya de cero sea igual a una letra a letra donde a es una constante y que ya prima de cero o sea cinco a es decir tengo que de cero es un numerito y que prima de cero es cinco veces ese numerito bueno pues que me quedaría si yo sustituyó mis condiciones iniciales pues tengo que es igual hace porque a la cero o sea que se es igualada porque a la cero pues es uno bien sustituyendo esto entonces me va a quedar que ya es igual a a por el ala menos 2x ahora bien voy a utilizar mi segunda condición inicial mi segunda conexión inicial desde que prima de cero es igual a 5 y entonces menos 2 por apoyarla menos 2x que es mi derivada de mi función tiene que ser por uno 5a y por otra parte pues es lo que acabamos de derivar menos dos por a por a la cero porque menos dos por cero cero pero pues el acero vámonos no me sirve es 1 y que es dice aquí esto es una incongruencia no puede ser esto están de acuerdo 5 a es igual a menos dudosa pues eso no tiene sentido con esto acabamos de probar que no es posible que tengamos solamente está con solución general porque no se pueden cumplir ambas condiciones iniciales simultáneamente pero bien entonces ustedes me van a decir y cómo encuentra la solución general para esto primero hagamos un poco de limpieza y ahora sí pongámonos las pilas bien y se acuerdan espero que se acuerden en el primer vídeo en el que empezó esta serie yo les contaba acerca de qué es la rx era una buena posibilidad de solución y nosotros veíamos que era la rd x era una posibilidad de solución debido a que sus derivadas eran muy parecidas a ella misma pues esta vez me voy a hacer una pregunta parecida necesito otra función que cumpla eso que sus derivadas sean parecidas y entonces yo pueda tenerla como solución así que es hora de ponerle nombre a mi nueva solución voy a decir que mi nueva solución se llama g que es una función que tiene que ver con una primera función de x le voy a llamar de x que va a multiplicar a mi solución que ya tenía a la menos 2x y ustedes se van a preguntar bueno porque no le puedes una constante de una vez pues se acuerdan en el primer vídeo habíamos demostrado que una constante por la solución también la solución entonces eso lo voy a hacer hasta el final lo que sí quiero que se den cuenta es que ve de x es una función nueva de x y voy a hacer lo mismo que hice en el primer vídeo sustituir su primera derivada y su segunda derivada en la ecuación diferencial su primer derivada quién va a ser pues es una multiplicación de funciones entonces la derivada de una multiplicación de funciones tiene que ver con la derivada de la primera función que multiplica a la segunda función tal cual sin hacerle nada más ahora ponemos la primera función igualita y la multiplicamos por la derivada de la segunda función pero la derivada de ella menos 2x es menos 2 al menos dos equis y ahora vamos a reducir un poquito esto esto sería mejor si lo pongo como b prima por el ala menos 2 x menos 2 veces ven por el ala menos 2 x se ve mejor así y así va a ser más fácil tratarlo ahora rompamos la monotonía de colores y vamos a poner un nuevo color de color pues el color amarillo que me va a servir de nuevo para hacer la segunda derivada de g es decir que mi prima y la voy a hacer un poco más rápido que mi primera vez mi prima por ella menos 2 x menos 2 veces de prima por el ala menos 2 x estoy derivando apenas el primer sumando ahora tengo que derivar el segundo sumando y lo voy a hacer con mucho cuidado lo primero que hace es derivar la primera función y me va a quedar menos 2 x b prima por el ala menos 2 x desde cuenta que apenas estoy derivando el segundo sumando es decir estoy haciendo la primera derivada con respecto a la primera función ya esto le voy a sumar cuatro veces por ella la menos 2 x porque menos 2 x menos dos es cuatro bien pero ahora lo que voy a hacer es tratar de simplificar un poco que mi prima para esto voy a tratar de reducir términos y me va a quedar de mi prima por ella la menos 2x bueno y el siguiente términos menos 2 por b prima menos -4 porque es menos 2 más menos 2 que es menos 4 de prima por ea la menos 2 x más 4 veces b por al menos 2 x esto no se puede reducir con nadie bueno pues pero ahora lo que voy a hacer es sustituir todo en la ecuación diferencial del segundo orden para sustituir todo quiero que se den cuenta que hay que tener mucho cuidado en meter la primera derivada y la segunda derivada pero toda la primera la segunda y la función normal tienen que ver con ella la menos 2x entonces de una vez lo voy a sacar como factor común para no complicarnos más la vida voy a decir que como todo tiene que ver con ella la menos 2x esto me va a quedar como y elevado a la menos 2x que va a multiplicar a quien bueno primero es la segunda derivada pero son derivadas todo esto entonces vamos a anotarlo con mucho cuidado es decir bebé y prima más menos 4 veces de prima más cuatro veces la función original ya esto lo tengo que sumar cuatro veces la primera derivada pero quieras la primera derivada la primera derivada hasta aquí entonces tengo que sumarle cuatro veces esto es decir cuatro por ver primero pues es cuatro veces de prima y después me va a quedar 4 por 28 es decir menos 8 veces ve bien ya esto tengo que sumar cuatro veces la función original es decir la función sin derivar pero la función sin derivar donde está la función de sin derivar es esta de de x por ea la menos 2x entonces cuando yo lo multiplicó por 4 me queda cuatro veces como era factor común y me va a quedar cuatro veces b porque era la menos 2 x es factor común bien y esto tiene que ser igual a cero ok esto tiene que ser igual a cero perfecto pero de ese cuenta que aquí ya hay nuevas cosas que nos van a salir de este análisis lo primero que quiero que vean y esa vez analizamos muy bien es que la exponencial nunca se anula es decir que algunos 2x pues nunca es cero y la segunda cosa que quiero que vean es que podamos reducir términos semejantes fíjense 4 b 4 b menos 8 b vámonos se van de cero y de hecho menos 4 ven más 4 b pues también se van entonces todo esto se va a reducir en una ecuación muy sencilla que ecuación pues que a la menos 2 x x baby prima esto de x tiene que ser igual a 0 pero se acuerdan que les contaba de la exponencial exponencial nunca sea nula entonces de aquí yo puedo concluir que la que se tiene que anular es baby prima de x es decir que ve mi prima de x pues tiene que ser 0 pero esto qué quiere decir necesitamos una función cuya segunda derivada sea 0 si nos regresamos un poquito y habláramos de la primera derivada de esta función pues que tendría que ser baby prima de x fíjense muy bien que funciona alto derivar la te da 0 pues una constante muy bien y si nos regresamos un poquito tendremos que hablar de una función que tenga que ver con una constante multiplicada por x más otra constante y desde cuenta que esto esta nueva función cumple lo que yo quería a cumplir lo que yo quería porque cuando yo derivó una constante por equis me da la constante cuando yo la derivó dos veces me da cero es decir ya por fin tengo esta función que yo buscaba dvd x desde cuenta que todo este procedimiento lo hicimos para encontrar una segunda solución y ahora ya la tenemos tenemos que nuestra segunda solución tiene que ver con c 1 x x + c 2 donde se une este 2 son constantes bien ahora que ya tengo esta nueva solución yo ya puedo escribir por fin mi solución general quién va a ser mi solución general pues va a ser de dx que multiplicaba a al menos 2 x es decir tienes bd x pues c 1 x x + c 2 y todo esto x al menos 2 x y xi distribuimos esta multiplicación pues me queda c 1 por el ala menos 2 x más de 2 por al menos 2 x esto de aquí es una bien y si tú eres las personas que quieren una fórmula y quieren todas las cosas fáciles en la vida pues qué crees ya tenemos la fórmula general o la solución general de migración diferencial de segundo orden pero lo que sí quiero que vean es que esta solución general tiene a igual a menos 2 x una vez multiplicada por x y la otra vez sin multiplicar por x así es como nosotros vamos a resolver las ecuaciones diferenciales de segundo orden que tengan raíces iguales entonces nos vemos en el siguiente vídeo