Contenido principal

Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 4: Respuesta natural y forzada

La ecuación de corriente y voltaje de un inductor en acción

Echamos un vistazo a las ecuaciones i-v del inductor y observamos cuán importante es darle a la corriente del inductor un lugar para fluir. Escrito por Willy McAllister.

El inductor es uno de los elementos ideales de los circuitos. Pongamos a trabajar las ecuaciones de corriente-voltaje de un inductor para aprender más sobre su comportamiento.

Qué vamos a construir

En este artículo:

Exploramos las formas diferencial e integral de la ecuación $i$ ‍- $v$ ‍ del inductor:

$v = L \frac{d i}{d t}$ ‍ $i = \frac{1}{L} \int_{0}^{T} v d t + i_{0}$ ‍

Construimos circuitos simples al conectar un inductor a una fuente de corriente, a una fuente de voltaje y a un interruptor.
Aprendemos por qué un inductor actúa como un cortocircuito si su corriente es constante.
Aprendemos por qué la corriente en un inductor no puede cambiar instantáneamente.
Cuando conectamos un inductor a un interruptor, al abrir el interruptor ocurre una paradoja. ¿A dónde va la corriente del inductor?
Mostramos cómo proteger componentes sensibles de los altos voltajes que genera un inductor.

Las ecuaciones $i$ ‍- $v$ ‍ de un inductor

v = L \frac{d i}{d t}

i = \frac{1}{L} \int_{0}^{T} v d t + i_{0}

Estas son la forma integral y la forma diferencial de las ecuaciones de un inductor.

L

es la inductancia, una propiedad física del inductor.

L

es el factor de escala para la relación entre

v

d i / d t

L

determina cuánto voltaje

v

genera una cantidad dada de

d i / d t

i_{0}

es la corriente inicial que fluye por el inductor al tiempo

t = 0

v = L \frac{d i}{d t}

En cálculo, usamos el símbolo

d

para denotar la "diferencial" o, en otras palabras, "un pequeño cambio en...". Por ejemplo,

d t

significa "un pequeño cambio en el tiempo". Cuando está en un cociente, como

d i / d t

, significa "un pequeño cambio en

i

(corriente) para cada pequeño cambio en el tiempo". A una expresión como

d i / d t

, la llamamos la derivada. Esta derivada es la pendiente de la corriente cuando la graficamos contra el tiempo.

El voltaje del inductor es proporcional al cambio en la corriente

Cuando aprendimos sobre resistores, la ley de Ohm nos dijo que el voltaje a través de un resistor es proporcional a la corriente que lo atraviesa:

v = i R

Ahora tenemos un inductor, cuya ecuación

i

v

es:

v = L \frac{d i}{d t}

Esta relación nos dice que el voltaje a través del inductor es proporcional al cambio en la corriente que pasa por este.

Para resistores reales, aprendimos a cuidar que el voltaje y la corriente no fueran tan grandes que el resistor no pudiera tolerarlos. Para los inductores reales, tenemos que cuidar que el voltaje y el cambio en la corriente no sean tan grandes como para rebasar la tolerancia del inductor real. Esto puede ser complicado, pues es muy fácil crear un gran cambio en la corriente si abres o cierras un interruptor. Más adelante en el artículo veremos como lidiar con esta situación.

Un inductor y una fuente de corriente

La primera cosa que estudiaremos es un inductor conectado a una fuente ideal de corriente.

La fuente de corriente proporciona una corriente constante al inductor,

i = I

, por ejemplo,

i = 2 mA

. ¿Cuál es el voltaje que pasa por el inductor?

La ecuación del inductor nos dice que:

v = L \frac{d i}{d t}

Esto significa que el voltaje que pasa a través de un inductor es proporcional a la razón de cambio de la corriente que fluye a través del mismo.

Como la fuente de corriente proporciona una corriente constante, la razón de cambio, o la pendiente, de la corriente es

0

\frac{d i}{d t} = \frac{d 2}{d t} = 0

(Todo el mundo sabe que

2

no cambia con el tiempo).

Por lo tanto, el voltaje que pasa a través del inductor es:

v = L \cdot 0

v = 0

Si una corriente constante fluye por un inductor, entonces $d i / d t = 0$ ‍, por lo que el voltaje a través del inductor es cero.

Un voltaje cero significa que un inductor bajo corriente constante es como un cortocircuito, igual que un alambre regular.

Aun si la corriente es muy grande, como

100 A

, si es constante, el voltaje a través del inductor sigue siendo

0

volts.

Un inductor y una fuente de voltaje

Ahora conectemos un inductor a una fuente ideal de voltaje constante y veamos qué nos dice la ecuación del inductor.

Seamos específicos y digamos que

V = 3 V

L = 10 mH

Si sustituimos estos valores en la ecuación del inductor, obtenemos:

v = L \frac{d i}{d t}

3 = 10 mH \cdot \frac{d i}{d t}

o, al despejar

d i / d t

\frac{d i}{d t} = \frac{3}{10 \times 10^{- 3}} = 300 amperes / segundo

Esto significa que la corriente que fluye a través del inductor tendrá una pendiente creciente de

300 amperes / segundo

Esto es bastante sorprendente, pero es lo que que establece la ecuación. No hace falta decir que este no es un circuito práctico. Lo construimos en nuestras cabezas para poder observar qué pasa con un voltaje constante. Si construimos este circuito, la corriente se incrementará hasta que nuestra fuente real de voltaje no pueda sostener la demanda de más corriente. Pero en un intervalo pequeño de tiempo, así es como los inductores reales funcionan.

Un voltaje constante a través de un inductor resulta en una corriente con pendiente constante.

Un inductor y un interruptor

Ahora vamos a utilizar la forma integral de la ecuación del inductor para analizar un circuito con un inductor y un interruptor.

El circuito tiene una fuente de voltaje en serie con nuestro inductor de

10 mH

, más un interruptor de botón

(ib)

. La terminal superior del inductor se encuentra a un voltaje constante de

3 V

por encima de tierra. Sean el voltaje a través del inductor

v_{L}

y el voltaje a través del interruptor

v_{ib}

; este también es el voltaje en la terminal inferior del inductor.

Presionamos el botón al tiempo

t = 0

, que cierra el circuito y permite que fluya la corriente. Determinemos la corriente

i

que pasa a través del inductor, esta vez con la forma integral de la ecuación del inductor.

Antes de presionar el interruptor

Supondremos que la corriente inicial a través del inductor es cero:

i (0) = 0

. Esto porque antes de

t = 0

el interruptor no estaba presionado y el circuito estaba abierto.

Después de presionar el interruptor

Presionamos el interruptor al tiempo

t = 0

En el momento en que presionamos el interruptor, el voltaje

v_{ib}

es igual a

0 V

. Ahora hay

+ 3 V

provenientes de la fuente conectados a través del inductor, y la corriente comienza a fluir. La corriente empieza igual a

0

y gradualmente crece mientras el inductor integra el voltaje de acuerdo a la ecuación del inductor:

i (t) = \frac{1}{L} \int_{0}^{t} v (x) d x + i (0)

La expresión dentro de la integral,

v (x) d x

, se ve un poco extraña. La variable

x

nos está haciendo un favor al jugar el papel del tiempo instantáneo, mientras que

t

es el tiempo total que el interruptor permanece presionado. La razón por la que usamos

x

(o cualquier otra variable distinta de

t

) es porque queremos que la variable

t

sea el límite superior de la integral definida. Así,

x

desaparecerá cuando calculemos la integral definida, dejándonos con la corriente como función del tiempo total. A

x

la llamamos variable muda de integración.

El límite superior

t

en la integral es la cantidad de tiempo que se mantiene presionado el interruptor. Siempre que permanezca pulsado, el inductor integra (suma) el voltaje y la corriente continúa creciendo.

Podemos sustituir las variables conocidas,

L

v

i (t) = \frac{1}{10 mH} \int_{0}^{t} 3 d x + 0

Esta integral vale simplemente

x

. Podemos evaluar

x

entre los límites

0

t

i (t) = \frac{3 V}{10 mH} x |_{0}^{t}

i (t) = \frac{3 V}{10 mH} [t - 0]

i (t) = \frac{3 V}{10 mH} t

Esta es la ecuación de una recta, válida mientras esté presionado el interruptor. La pendiente de la recta es:

\frac{3 V}{0.010 H} = 300 amperes/segundo

Siempre que el interruptor esté cerrado, la corriente del inductor crece

300

amperes cada segundo. Toda esta energía queda almacenada en el campo magnético del inductor.

Como un ejemplo explícito,

0.002

segundos después de que presionemos el interruptor, la corriente se elevará a

300 \cdot 0.002 = 0.6 amperes

600 mA

La corriente crece (o decrece) gradualmente conforme un inductor integra su voltaje durante el tiempo.

Este es el mismo resultado que obtuvimos al utilizar la forma diferencial de la ecuación del inductor.

Probablemente deberíamos soltar el interruptor en algún punto.

Soltar el interruptor

Digamos que soltamos el botón al tiempo

t = 2 ms

y el interruptor se abre. Encontremos qué pasa al revisar la forma diferencial de la ecuación del inductor:

v = L \frac{d i}{d t}

Cuando soltamos el botón, esperamos que la corriente cambie instantáneamente de

600 mA

0 mA

. Pero espera un segundo. Esto significa que

i

cambia de un valor finito a

0

amperes en un tiempo de

0

segundos.

La derivada de la corriente,

d i / d t

, es

(0 - 600) / 0

, o ¡infinita!

¡La ecuación del inductor predice que

v

será infinito! ¿Acaso puede ocurrir? No, no puede. La corriente en un inductor no puede cambiar instantáneamente porque implicaría que existe un voltaje infinito, lo cual no puede ocurrir. Esta resistencia a cambiar se debe a la energía almacenada en el campo magnético del inductor.

La inductancia es análoga a la masa o a la inercia en un sistema mecánico. La energía en el campo magnético de un inductor no permite que la corriente cambie instantáneamente, justo como la masa de un automóvil no permite que este cambie de velocidad. Un automóvil no puede detenerse o arrancar instantáneamente. Un inductor es básicamente la versión eléctrica de la primera ley del movimiento de Newton (la ley de la inercia): un cuerpo en movimiento tiende a permanecer en movimiento.

La corriente en un inductor no cambia instantáneamente (no puede).

Tenemos un rompecabezas en nuestras manos. Abrimos el interruptor mientras fluía corriente en el inductor. El interruptor abierto significa que no puede fluir corriente. ¿Qué ocurre con la corriente del inductor que insiste en fluir?

¿Qué ocurre en un circuito ideal?

Esto es un desastre. Tenemos toda la corriente y el voltaje que queremos, pero esta situación rompe los modelos ideales porque creamos una pelea imposible: la corriente tiene que ser cero e infinito al mismo tiempo. Hemos llegado a los límites de nuestros modelos ideales. Esto hace que me duela la cabeza.

¿Qué pasa en un circuito real?

Cuando al tiempo

t = 2 ms

se abre el interruptor, esperamos que la corriente cambie de

600 mA

0 mA

0

segundos. No seamos codiciosos. Digamos que está bien que el interruptor tarde

1 μ s

en ir de cerrado a abierto. El voltaje que veríamos a través del inductor sería:

v_{L} = L \frac{d i}{d t}

v_{L} = 10 mH \cdot \frac{(0 - 600 mA)}{1 μ s} = 10 \times 10^{- 3} \cdot \frac{- 600 \times 10^{- 3}}{10^{- 6}}

¡ ¡ v_{L} = - 6,000 volts!!

¡El voltaje del inductor se vuelve enorme! La terminal

+

del interruptor está a

+ 3

volts sobre tierra. El signo

-

v_{L}

significa que la terminal negativa del inductor es

6000

volts por encima de la terminal positiva.

Esto hace que

v_{ib} = 3 + 6000 = + 6003 volts

¿Esto realmente ocurre?

Cuando el voltaje se vuelve tan grande, lo que en realidad sucede es que ocurre una chispa en el aire entre los contactos del interruptor de botón. La energía en el campo magnético se disipa en una breve explosión de luz. De hecho, si quieres generar una chispa, esta es una de las mejores maneras de hacerlo.

Aunque el aire es normalmente un buen aislante, un alto voltaje puede superar su capacidad aislante. Cuando el campo eléctrico a través de una brecha de aire de

1

milímetro es de alrededor de

3000

volts, el aire se vuelve parcialmente conductor. Si el voltaje se incrementa, el aire pierde toda capacidad aislante y se vuelve conductor. El campo eléctrico es lo suficientemente intenso para arrancar electrones de las moléculas de oxígeno y nitrógeno, y entonces ocurre una chispa eléctrica a través de la brecha.

Fuente: Chisporroteo eléctrico, Wikipedia.

En la versión real de nuestro circuito de ejemplo, la chispa comienza alrededor de los

3000

volts. Si tienes un interruptor resistente, es capaz de soportar la chispa. Pero si el interruptor es frágil (por ejemplo, si usas un transistor como interruptor), hay una buena probabilidad de que el alto voltaje lo destruya.

Nuestra paradoja: ¿cómo puede haber corriente finita en el inductor al mismo tiempo que el circuito está abierto? En la vida real, la paradoja se resuelve con el inductor ganando y el circuito abierto perdiendo. El interruptor abierto fue obligado a cerrarse durante la duración de la chispa.

No necesitas temerles a los inductores, pero debes respetarlos. Los inductores son dispositivos de almacenamiento de energía, al igual que los capacitores. Si liberas toda la energía de golpe, ¡puede suceder un bum!

Las fuentes de corriente y los inductores pueden parecerte inusualmente peligrosos, pero no lo son más que otros dispositivos. Esto se debe, sobre todo, a nuestra falta de familiaridad con las fuentes de corriente, que no son tan comunes como las fuentes de voltaje. La mayoría de nosotros sabemos que es una mala idea hacer cortocircuito a una fuente de voltaje. No metas un tenedor en el tomacorriente u obtendrás una tonelada de corriente. También es una mala idea hacer cortocircuito a un capacitor cargado, pues, a corto plazo, los capacitores actúan como fuentes de voltaje.

Las fuentes de corriente son lo opuesto a las fuentes de voltaje. Se desempeñan bien bajo un cortocircuito, pero no les gusta que el circuito se abra. Un inductor por el cual fluye una corriente actúa de forma similar a una fuente de corriente. Si abres un inductor que está almacenando un montón de energía, obtendrás una tonelada de voltaje. Puede parecer extraño pensar que un circuito abierto pueda causar problemas, pero lo hace cuando involucra inductores. El circuito inductor-interruptor que discutimos aquí es el caso más común en el que puede volverse un problema significativo.

Si quieres, ya puedes dejar de leer. Ya tienes una buena comprensión sobre cómo funcionan las dos formas de la ecuación del inductor. En la siguiente sección, que es opcional, describimos cómo diseñar circuitos tomando en cuenta el pico de voltaje debido a un inductor.

Para sacar el máximo provecho de esta descripción, te ayudará estar familiarizado con el funcionamiento de un diodo. Un diodo conduce corriente exclusivamente en una dirección, no en la otra.

¿Cómo evitamos que el pico de voltaje debido al inductor destruya nuestro circuito? Cuando diseñamos circuitos con inductores e interruptores, nos adelantamos y aseguramos de que la corriente siempre tenga un lugar hacia dónde fluir.

Darle a la corriente un lugar hacia dónde fluir

El problema que enfrentamos con los inductores es que no les gusta que abramos súbitamente el circuito en el que se encuentran. Aquí hay una forma de lidiar con el desafío de diseño: proporcionarle un camino alternativo a la corriente.

Si colocamos un diodo en paralelo con el inductor, resolvemos el problema del pico de voltaje limpiamente. El diodo proporciona un camino para la corriente del inductor cuando el interruptor se abre, lo que previene el chispazo y el daño consiguiente.

La primera cosa a observar es la dirección en la que se encuentra el diodo. Su corriente en sentido directo apunta hacia arriba. La corriente solamente fluirá hacia arriba a través del diodo.

Antes de que se cierre el interruptor, no fluye corriente en nignún lugar, por lo que hay

0

volts a través del inductor y el diodo. El valor de

v_{ib}

3 V

Cerrar el interruptor

Cuando cerramos el interruptor, la corriente fluye hacia el inductor y el interruptor, igual que lo hizo en ausencia del diodo:

¿Cuál es el voltaje que pasa a través del diodo cuando el interruptor está cerrado?

v_{L} =

V

¿La polarización del diodo es directa o inversa?

¿Cuál es la corriente aproximada en el diodo?

Corriente en el diodo

\approx

A

Abrir el interruptor

Ahora soltamos el botón del interruptor y este se abre. El diodo hace algo inteligente por nosotros. Antes, cuando no había diodo, el interruptor abierto provocaba que

v_{ib}

tuviera un gran pico de voltaje positivo.

Con el diodo colocado, cuando se abre el interruptor, la magnitud de

d i / d t

es muy grande, lo que provoca que

v_{ib}

rápidamente se dirija a un voltaje positivo, justo como ocurría sin diodo.

Cuando $v_{ib}$ ‍ se incrementa arriba de los $3$ ‍ volts, más alrededor de $0.7$ ‍ volts, ¿qué le pasa al diodo?

El diodo proporciona un camino para que el inductor permita que su corriente siga fluyendo, sin la necesidad de que ocurra una chispa entre los contactos del interruptor. Las propiedades características

i

v

del diodo previenen que el voltaje crezca mucho más. El voltaje

v_{ib}

alcanza los

3.7

volts, tal vez un poco más. El diodo restringe el voltaje en este valor y previene una chispa. Todo el mundo es feliz.

En la vida real, la corriente del inductor,

i

, circula alrededor del diodo tanto como es necesario hasta que la resistencia del cableado del inductor disipa la energía en forma de calor. El diodo previene que ocurra un gran pico de voltaje inductivo y protege los componentes circundantes.

Resumen

La corriente en un inductor no cambia instantáneamente.

Cuando la corriente es constante, un inductor parece un cortocircuito.

Ten cuidado al hacer circuitos con inductores. Un cambio súbito en la corriente, como la apertura de un interruptor, que es un corte en el camino de la corriente, significa que la derivada de la corriente,

d i / d t

, puede volverse muy grande. La ecuación del inductor nos dice que puede generarse un gran voltaje a través del inductor.

Una forma de lidiar con el voltaje potencialmente destructivo del inductor es diseñar un camino para la corriente, de tal modo que

d i / d t

no sea muy grande. Mostramos cómo añadir un diodo para proporcionar un camino para la corriente y restringir el voltaje del inductor a un valor aceptable cuando el interruptor se abre.

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión

Ordenar por:

Sin publicaciones aún.

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.

Ingeniería eléctrica