Integral de línea de un campo escalar independiente de la dirección de la trayectoria

en el vídeo pasado hicimos lo siguiente empezamos con una cierta curvas y después le dimos una parametrización x de 7 a partir de esta parametrización de encontramos una nueva que lo que hacía era recorrer exactamente la misma curva pero al revés empezaba aquí y terminaba en este punto conforme t se movía de ave y en contraste con lo que pasaba antes que cuando te era igual a estábamos aquí y entregó al ave estábamos acá entonces lo que queremos responder en este vídeo es la siguiente pregunta como la integral de línea sobre c de f de xy de s como esa integral de línea se compara con la otra integral la integral sobre f x y el mismo campo escalar pero ahora sobre esta nueva curva que va en la otra dirección - entonces importará que aquí estamos moviéndonos en un sentido y acá en otro para encontrar la integral de línea de este campo escalar en el siguiente vídeo vamos a hablar de campos vectoriales pero ahorita tenemos un campo escalar bueno vamos a agarrar un poco de intuición antes de probar las cosas hacer un dibujo a ver ahí voy a poner mi diagrama no sabes que me voy a ir aquí abajo para tener más espacio y entonces déjame dibujar lo siguiente voy a dibujar el eje y por aquí voy a dibujar el eje x y vamos a poner también el eje z el eje z voy a dibujar un campo escalar es decir voy a dibujar una superficie algo así y entonces recuerda que este de aquí es fx y lo estamos pensando así porque a cualquier punto le podemos asociar una altura definida justo por el campo escalar ok entonces vamos a poner una curva aquí abajo digamos algo de este estilo esta de aquí va a ser la curva ce y para darle un sentido empezamos aquí y nos movemos en esta dirección va entonces ahorita es un buen momento para recordar qué quiere decir la integral de línea geométricamente lo que queremos según vídeos anteriores es encontrar el área de una cortina cuyo techo está definido por la superficie y cuya base es la curva entonces literalmente estamos intentando encontrar el área de esta pared o cortina o papel o como quieras llamarle esto es lo que está detrás de esta expresión pero qué pasa si tomamos la misma integral pero ahora en la dirección contraria es decir en vez de ir en esa dirección ahora vamos al revés comenzamos arriba y empezamos a bajar pues fíjate que de cualquier forma la idea es la misma o sea no sabemos cuál es y una forma de pensarlo es que pude haber definido este camino o sea en esa dirección como sé y entonces menos se sería pues el pse original entonces parece ser que en cualquier caso estamos determinando el área de esta cortina entonces que nos dice la intuición vámonos a las integrales pues ambas nos dan el área de esta cortina verdad y por tanto deberían de ser iguales pero fíjate que todavía no he demostrado nada rigurosamente vamos a ver otro argumento intuitivo lo que tenemos en esta integral de aquí es un de s verdad déjame subrayar lo aquí tenemos un de ese y eso en el dibujo es un diminuto segmento de curva verdad un diminuto segmento de curva que se multiplica por la altura por un f x eso de ahí nos da el área de un cierto rectángulo y la integral suma todos esos en la otra pasa lo mismo otra vez estamos tomando un pequeño de ese y acuérdate que el de ese siempre es una raíz cuadrada entonces queda positivo o sea tomamos un pequeño de ese y otra vez estamos multiplicando por la misma altura y una vez más estamos sumando de todos estos rectángulos hay que tener cuidado pues este fenómeno no sucede con las integrales normales digamos la integral de a a b de pues una f de x vx en estas integrales cuando intercambiamos los límites entonces qué pasa nos queda igual al negativo de la integral hasta desde el df de x de x déjame hacer un dibujo para entender esto a ver aquí está el eje el eje x aquí está aquí está ve y la gráfica de la función entonces en esta primera integral los de x siempre son positivos es decir aquí tenemos un pequeño cambio pero es positivo porque pues porque estamos avanzando empezando en nada y terminando en ve hacia la derecha pero en esta situación las de x son negativas porque ahora qué sucede en las alturas son las mismas pero ahora la x se mueve hacia la izquierda desde b hasta y entonces cada de x es negativo en la integral de línea no pasa esto en ambos casos como de s es una raíz nos queda positiva además como la superficie la dibuje sobre el plano xy entonces efe también es positiva y entonces esto nos debería de sugerir que no hay ningún cambio de signo pero ahora sí para quedar contentos hagamos una demostración voy a bajar aquí al gran gran espacio y comencemos escribiendo la parametrización pongamos que se está dada por x igual a x dt y es igual a 7 y que además la testa en un cierto intervalo digamos a menor o igual a t menor o igual a b sabemos que vamos a necesitar las derivadas entonces déjame hacerlas de una vez entonces lo voy a poner con este otro color de x dt es igual a x prima de t y deje de t a ver un poquito más bonito del dt es igual a mi prima de te va hasta ahorita nada nuevo simplemente una parametrización y unas derivadas pasemos a la integral sabemos que la integral sobre c de f x efe es un campo escalar verdad la integral de fx de s está definida por la integral desde te iguala hasta b c efe de x dt coma 7 y todo eso multiplicado por la raíz cuadrada de de equis dt cuadrada o sea x primate cuadrada x prima de t al cuadrado más de 7 t al cuadrado entonces nos queda más de prima de t al cuadrado y claro verdad todo eso por dt nada nuevo todavía sólo pusimos esta integral en términos de la parametrización que tenemos vale entonces ahora pasemos a la otra a menos c voy a cambiar a otro color digamos a naranja entonces menos c está dada por bueno sabes qué mejor déjame hacerlo aquí abajito menos se está dada por x igual a y eso ya lo hicimos en el vídeo pasado verdad vamos a ver que nos quedaba nos quedaba x es igual a x de a más b - t ok x es igual v - t y luego he estado espérame aquí me equivoqué verdad o sea me faltó una x x es igual a x de a más b - t y luego ya está dado por llegue a más b - t y finalmente estamos en el mismo intervalo a menor o igual a b me perdón a menor o igual a t menor o igual a b va entonces esto de aquí es simplemente lo que hicimos en el vídeo pasado x es igual a x de además b - t y es igual a yemen usted es la misma curva pero recorrida en sentido contrario sale pues ahora vamos a encontrar las derivadas regresando al color blanco ahora lo que queremos es de x dt para esta nueva trayectoria menos suena que ahora vamos a tener que usar la regla de la cadena entonces nos queda la derivada de lo de adentro con respecto a t estas son constantes a que hay un menos te la derivada de menos 3 -1 entonces es menos 1 por la derivada de lo de afuera lo de adentro entonces nos queda x prima en b menos te sale vamos a reescribir esto simplemente como - x prima de amas ve - te vamos ahora la deje de g dt de modo similar es igual a la derivada de lo de adentro o sea menos 1 verdad derivada de menos 3 - 1 x la derivada de lo de afuera evaluado en lo de adentro o sea prima de amave menos te vamos a describirlo como menos prima de a más b - te sale ahora si ya tenemos toda la información descrita vamos a pasar a la integral entonces ahora queremos encontrar la integral sobre menos c d efe de x de s ok entonces esto va a ser igual a la integral desde t igualada hasta te iguala b efe de equis pero ahora x ya no es x de verdad ahora x está en esta nueva trayectoria o sea es x d b - t no te dejes intimidar por esto vas a ver que va a quedar más bonito al rato entonces vamos allá ahora nos queda algo parecido verdad ahora yes idea más bien usted entonces ya de ve - t cerramos el paréntesis y luego hay que multiplicar por la raíz cuadrada déjame ponerlo en azul la raíz cuadrada de que pues desde x dt al cuadrado de x dt al cuadrado y cuánto vale esto pues es esta expresión al cuadrado aquí hay un menos verdad pero cuando elevamos al cuadrado pues se cancela el menos porque el elevar al cuadrado siempre cancela menos entonces nos queda menos x prima de además de todo eso elevado al cuadrado que es lo mismo que simplemente x prima de a más vehemente al cuadrado simplemente al menos lo cancelamos porque estamos elevando al cuadrado entonces x prima de a v - t al cuadrado ahora toca poner lo que corresponde para y pongámosle más de tdt y por la misma lógica perdemos el menos verdad entonces nos queda simplemente que prima de amas ve - t elevado al cuadrado va todo esto hay que multiplicarlo por un dt sale entonces esta de arriba es la integral de superficie sobre la curva c y esta de acá abajo es la no haber ni siquiera hemos hablado de integrales de superficie más bien esta es la integral de líneas sobre c y éste la integral de línea sobre menos c todavía no parecen iguales de hecho la segunda se ve más complicada veamos si podemos simplificar la movámonos para acá abajo y vamos a meter un truco vamos a hacer un cambio de variable para esto vamos a tomar pues vamos a ponerle y entonces vamos a tomar y iguala a más b - t necesitamos encontrar la derivada y cambiar los límites de integración empezamos con la derivada a ver / dt pues está fácil verdad simplemente es igual a menos 1 escrito de otra forma multiplicando a ambos lados por dt nos queda que de eeuu es igual a menos dt ahora pasemos a los límites de integración a ver entonces cuando te es igual a a que le pasa a uno pues es igual a a más ve menos a que es igual a b y cuando te es igual a b entonces uno es igual a más b - b verdad y estoy aquí es igual a a saleh entonces cuando hacemos la sustitución en esta integral de aquí vamos a ver qué nos queda seguro se va a simplificar entonces nos queda la integral de ahora empezamos a ver cuando ustedes y entonces cuando te ve huesa ahora nos queda efe de x de aquí tenemos a + bms - t que simplemente es un bajo coma y de lo mismo verdad u otra vez de eeuu ok y luego hay que multiplicar por la raíz cuadrada de déjame hacerlo con color azul por la raíz cuadrada de x prima de a más de otra vez es un elevado al cuadrado más de prima de entonces prima de v al cuadrado todo eso x pues ahora no es de verdad ahora va de como más bien nos quedaría dt es igual a menos de eeuu y entonces por aquí en vez de poner un dt tenemos que poner un menos de eeuu por menos de u pero para no pensar que es una resta déjame poner el menos aquí afuera vale entonces nos quedó la integral debe a de este integrante ok ahora para que los límites de integración tengan un poquito más de sentido déjame intercambiarlos o sea el más chiquito que él ve entonces lo que dije hace rato es que si tenemos una integral normal y está como está es verdad que va de a mejor déjalo ponerle que va debe a a de fx de equis o déjame ponerle de un jefe de un déu entonces eso es igual a menos la integral de ave de f y eso lo hicimos aquí arriba lo que dijimos fue que cuando intercambiamos los límites de integración entonces los dedos también cambian de signo sale entonces hagamos eso aquí abajo a ver entonces nos queda vamos a intercambiar estos dos entonces qué nos queda aquí hay un menos verdad entonces nos va a quedar menos x menos nos va a quedar simplemente la integral de ave de el menos se va porque intercambiar los límites entonces nos queda la integral de ave de fx de 1,71 multiplicado por la raíz por la raíz de x prima de perdón aquí apareció algo x prima del elevado al cuadrado más prima de 1 al cuadrado de 1 listo terminamos con la sustitución pero esto de dónde venía vamos a copiar la integral original vamos a acordarnos que era igual a la integral sobre menos c de fx y de ese entonces fíjate que tenemos cómo se relaciona esto con la integral de c a ver déjame copiar y pegar la nuestra no es copiar y pegar a ver voy a copiar y pegar esto de aquí copiar bajo pegar a esta entonces cómo se comparan estas dos integrales pues si las vemos con cuidado la verdad se ven súper parecidas aquí en la integral correspondiente a menos c tenemos un montón de uso y acá abajo tenemos un montón de text pero en exactamente los mismos lugares estas dos integrales van a tomar exactamente el mismo valor cuando acá abajo hacemos el cambio digamos o igual a t entonces esta integral queda la integral de a a b d pues lo mismo de acá verdad o sea de fx de 1 x de mathieu por la raíz cuadrada de x prima de un elevado al cuadrado más ye prima de eeuu elevado al cuadrado de eeuu y entonces estas dos ya quedan idénticas ba entonces hicimos toda la sustitución y así y obtuvimos las mismas integrales el resultado es que no importa en qué dirección tomamos la curva siempre y cuando tomemos la misma curva eso está muy bien pues coincide con el argumento intuitivo que teníamos lo que habíamos dicho es que en ambos casos estábamos encontrando el área de esta cortina