Integrales de línea de un campo vectorial dependiente de la dirección de la trayectoria

supongamos que tenemos una parametrización en forma vectorial r dt igual a x dt multiplicado por el vector unitario y más 7 x el vector unitario jota y déjame hacer una gráfica de cómo se va a ver esto este de aquí es un eje déjame poner un poco más derecho este de aquí es el eje y este de por acá es el eje x y entonces vamos a ponerle que t se mueve en un cierto intervalo digamos que a es menor o igual que t y eso es menor o igual que b sale cuando te es igual a a estamos en este punto es decir si metemos este iguala aquí arriba obtenemos un vector que va del 0 a este punto y luego conforme te va incrementando su valor se empieza a trazar una curva en el plano xy y se vería más o menos así notemos que para t igual a b obtenemos un vector que apunta hacia el extremo final de este modo la parametrización define una trayectoria recorrida en esta dirección hacia ahora vamos a dar una segunda parametrización en forma vectorial déjame cambiar de color y lo voy a escribir acá a la derecha vamos a llamarla r r reversa entonces va a ser eres v r eres v r no no eres v resuena súper feo dejame borrar eso vamos a llamarle nada más rt pero es diferente porque está de aquí es verde entonces es r dt y en vez de ser x dt por iba a ser x de a más b - t x y más y lo mismo con que llegue a más b - t x j esto ya lo habíamos encontrado en los vídeos pasados la trayectoria que se traza al considerar esta nueva parametrización es muy parecida de hecho se ve así dibujo el eje por acá el eje x de hecho vamos a etiquetar los ejes eje y eje x eje y eje x esta trayectoria se va a ver muy parecida a la primera sólo que ya no va a empezar aquí terminar acá ahora la vamos a recorrer al revés antes déjame escribir que también ahora a es menor o igual que t y es menor o igual que b o sea te va de a a b como te comentaba ahora substituir te iguala este vector de dirección y por tanto empezamos acá arriba después conforme te va aumentando su valor aquí moviéndose de a ave se va trazando la misma trayectoria pero recorrida en sentido opuesto es la misma trayectoria pero en la dirección contraria observa que al sustituir de igual ave aquí arriba tenemos equis dea y de este otro lado llegue a las veces cancelan y el vector director apunta hacia acá de este modo la forma de las dos trayectorias es exactamente la misma pero están recorridas en sentido contrario lo que queremos hacer en este vídeo es ver cómo afecta a este cambio de parametrización en una integral de línea sobre un campo vectorial tomemos un campo vectorial digamos efe de x igual a pd x por el vector unitario y más q de xy por el vector unitario j esto de aquí simplemente es un campo vectorial en el plano x y ahora como la integral de línea de este campo vectorial sobre esta trayectoria es decir sobre si se compara con la integral de línea del mismo campo vectorial pero sobre esa otra trayectoria es decir con la integral de menos c vamos a ponerle nombres este de acá es la curva ce esta de acá es la curva menos ce y entonces la pregunta es cómo se comparan las integrales de la curva positiva con la de la negativa de f de r va entonces antes de que me meten las matemáticas vamos a pensar un poco la intuición detrás vamos a dibujar el campo vectorial vamos a poner algunos vectores acuérdate que un campo vectorial le asigna a cada punto del plano xy una cierta fecha o sea un vector entonces lo único que nos importa son los vectores que están sobre la curva sobre la curva se vería más o menos así verdad bueno por decir algo vámonos para acá es el mismo campo vectorial entonces otra vez ponemos los mismos vectores por ahí sale lo que queremos hacer es agarrar un poco de la intuición de lo que está pasando esto de aquí es una suma estamos haciendo una suma de muchas cosas verdad estamos tomando un punto sobre la trayectoria es más déjame empezar aquí entonces vamos a tomar un punto sobre la trayectoria vamos a ponerlo en rosa mexicano y queremos hacer el producto punto de efe es decir este de aquí con de r es decir la derivada de nuestra parametrización vectorial y recordamos que sólo podemos pensar como un muy pequeño cambio así infinitesimal en la dirección de nuestra trayectoria entonces cuando hacemos el producto punto de esto de aquí esencialmente lo que estamos haciendo es obtener un valor escalar que nos dice que tanto de la fuerza está en dirección del movimiento y luego multiplicarlo por la magnitud de la fuerza y del movimiento en el dibujo nos quedaría una proyección como por aquí pero sabes que mejor déjame hacer un zoom entonces lo que voy a hacer es copiar esta parte y lo voy a agrandar entonces supongamos que este de aquí es la trayectoria y que aquí tenemos efe en ese punto efe es el campo vectorial ahora de r se vería como un pequeño cambio lo voy a hacer con otro color con naranja este de aquí es de r este de aquí es efe y entonces el producto punto de estos dos vectores es que tanto de efe va en la misma dirección que de erre entonces lo podemos pensar como la proyección sobre t r y entonces la magnitud que obtenemos multiplicada por la magnitud de r es el producto punto de f con de r aquí vamos a obtener un valor positivo porque tenemos puras longitudes positivas va pero qué sucede si el de r va en la dirección contraria como en el segundo caso déjame dibujar otra vez el zoom eso de ahí es la misma parte de la curva una vez más tenemos nuestra f entonces la f nos da un vector estoy dibujando exactamente lo mismo pero ahora la de r va en la otra dirección por qué pues porque menos se recorre en dirección contraria entonces de r nos queda algo de pues un vector de este estilo sale entonces nos queda en esa dirección este de aquí es de r y entonces cuando hacemos el producto punto ahora otra vez vamos a proyectar efe nr pero esta vez tenemos que proyectarlo por acá observa que está yendo en la dirección contraria de de r entonces al multiplicar las magnitudes deberíamos obtener una magnitud negativa otra vez en este caso la proyección de f queda en dirección contraria que de r pero en el primer caso la proyección y va en la misma dirección entonces la intuición nos debe de decir que estas integrales sólo varían en un signo menos vámonos a las matemáticas para intentar demostrar esto vale entonces vamos a movernos acá abajo para tener un poco más de espacio y lo primero que vamos a hacer es encontrar una expresión para cada deere déjame escribirlo por aquí abajo en la primera integral de r entre dt está definido como x prima de t por y + + de prima de t x j entonces vayamos a la segunda integral en la curva que va al revés tenemos que de r / dt es igual a y aquí tenemos que usar la regla de la cadena vamos aquí arriba queremos la derivada de x con respecto a t eso es la derivada de lo de adentro es decir menos 1 x la derivada de lo de afuera evaluado en lo de adentro entonces es menos 1 la derivada de lo de adentro por la derivada de lo de afuera evaluada en a más de lo de adentro por iu y luego hay que hacer lo mismo con ye verdad es la derivada de este término la derivada de lo de adentro es menos 1 x la derivada de lo de afuera evaluado en lo de adentro es decir que prima de a más de menos te lo escribimos aquí abajo menos que prima de a b menos te por j entonces queda esto y esto respectivamente pasemos ahora a escribir de r entonces lo que vamos a hacer es multiplicar por de t de r nos queda igual a x prima de t más prima de té por j y todo esto multiplicado por vete podemos pensar desde como un escalar aquí estamos haciendo algunos crímenes matemáticos pero es más sencillo así vamos acá de r es igual a menos x ya cambié de verde pero no importa x prima de ambas ve - t por y menos y prima de amas ve - t por jota vale vamos a multiplicar todo esto por de t ok entonces ya estamos listos para expresar la integral como una función desde entonces está estar acá que nos queda nos queda la integral de a a b que se mueve de ave de f x de perdón xd de coma 7 punto punto de r entonces drs es el de r que calculamos acá lo cual es a ver ese punto x prima de t por y de prima de té por j y todo esto de aquí tenemos que multiplicarlo por de t entonces vamos a ponerle vete listo entonces pasamos a la segunda integral ahora cuando hacemos la integral en el lado contrario nos queda la integral de ave de f de ahora no es x dt sino xd t además ve - te estoy escribiendo en pequeño para que quepa punto y entonces hay que hacer un producto punto con este ere es punto menos x prima de amas ve - de x y menos menos de prima de ahí creo que no va a caber déjame borrar un poco para hacer algunos ajustes y que todo quede mejor de hecho como aquí tengo un menos y tengo otro menos en el segundo sumando entonces voy a cambiar esos menos hasta afuera y luego ese menos al ir porque es un valor escalar y vamos a ponerlo afuera de pues digamos vamos a ponerlo afuera de la integral entonces lo ponemos hasta acá simplemente salió del producto punto y de la integral y luego tenemos x prima de hamás b - t por más que prima de ab - t voy a mover un poquito por j y todo eso de té listo esta primera es la integral de cuando recorremos la curva en sentido normal y esta otra es cuando recorremos la curva en dirección contraria ahora como en el vídeo pasado vamos a hacer un cambio de variable pero antes de eso déjame recapitular aquí dice el producto punto y luego simplemente saque el signo menos que teníamos ese signo menos lo pensé como un -1 tanto en de r como en la integral pasamos a la substitución queremos llegar a que esta integral es la negativa de esta otra eso es lo que nos dijo nuestra intuición entonces me voy a enfocar en la integral de la derecha déjame proponer la siguiente sustitución vamos a ponerle sea un iguala a más b - t el mismo truco del vídeo pasado entonces de eeuu es igual a menos de t simplemente derivamos ambos lados o bien podemos escribir que de t es igual a menos de 1 entonces vamos a ver qué obtenemos cuando hacemos este cambio primero tenemos que ponerle si te es igual a a entonces eso es igual a más ve - entonces es igual a b esto es para cambiar los límites de integración para cuando te es igual a b entonces eso es igual a más b b entonces nos queda o igual a igual a saleh entonces haciendo este cambio de variable obtenemos la siguiente integral a ver esta integral se hace igual a menos la integral de iguala b verdad ahora empezamos en b y terminamos en a iguala de igual a igual a de f de x de 1,7 aquí tenemos y aquí también tenemos un punto y ahora esta expresión de acá entonces es a ver les voy a poner el paréntesis y luego x prima de un porn y esa es esta expresión más de prima de un por j y todo eso en vez de ponerle un dt tenemos que ponerle un déu pero dt dv entonces escribo menos de uno pero en vez de poner el menos aquí pues voy a poner de uno y ese menos sale sale sale aquí se cancela con este menos y se vuelve un más vamos a ponerle aquí un más y ahora tú puedes estar pensando en estas integrales parecen ser iguales no parecen tener signo contrario y bueno casi tienes razón excepto que aquí tenemos los límites de integración de una forma y acá de otra entonces esta nueva integral que encontramos tenemos todavía que voltear los límites de integración y entonces nos queda igual a menos la integral de a a b d efe de f de de que así de x de 1,7 punto x prima de 1 x y más prima de 1 j d ahora sí esto es idéntico a esto esta integral esta integral indefinida es idéntica a la de acá la variables distintas acá es tt y acá es de eeuu pero como sólo la variable de integración entonces vamos a obtener exactamente los mismos valores si ponemos la misma a la misma b el mismo campo vectorial efe y recorremos la misma trayectoria dada por r vamos al resumen cuando tenemos una integral de línea que está definida en un campo vectorial eso es importante verdad que f sea un campo vectorial entonces la dirección si importa si recorremos en el sentido contrario obtenemos la versión negativa esto es porque cuando cambiamos el sentido la dirección de de r se invierte y por tanto los productos puntos tienen signos contrarios y qué trabalenguas recordemos que si tenemos un campo escalar esto no pasa eso lo vimos en el vídeo anterior con un campo escalar no nos importa la dirección del recorrido daba lo mismo si recordamos o menos y eso era porque estábamos intentando encontrar un área saleh espero que esto te haya parecido al menos un poquito impresionante hasta la próxima