Derivadas de tan(x) y cot(x)

ahora ya sabemos las derivadas de senos y cosenos sabemos que la derivada con respecto a x del seno de x es igual al coste no de x y también sabemos que la derivada con respecto a x del coseno de x es igual al menos seno de x y lo que queremos hacer en este vídeo es encontrar las derivadas de las otras funciones trigonométricas básicas así que en particular vamos a averiguar primero la derivada con respecto a x la derivada con respecto a x de y bueno qué te parece si empezamos con la tangente de x gente de equis y bueno para sacar esta derivada lo que vamos a hacer es expresar la tangente como la división de seno entre coseno esto es lo mismo que la derivada con respecto a x de d el seno de x déjame ponerlo con otro color dividido a su vez entre el seno de y bueno esa es la definición de la tangente así que vamos a calcular esta derivada y como la tangente se puede expresar como el cociente de dos funciones aquí podemos aplicar la regla del cociente para evaluar esta derivada la regla de cociente nos dicen que esto va a ser igual am y primero me fijo en la derivada del de arriba la derivada de ese no es el coseno de x así que me quedaría coseno de x ya esto hay que multiplicarlo por la función que tenemos abajo que es cosa de x entonces a esto lo voy a multiplicar por 12 no de x ok ya esto hay que quitarle bueno la función que tenemos arriba la función que tenemos arriba es seno de x que multiplica a la derivada de la función que tenemos abajo pero la derivada del coseno dx es el menos de equis así que voy a poner aquí el seno de x el seno de x y este signo menos lo voy a poner aquí de tal manera que va a cancelar este y ahora vamos a dividir todo esto vamos a dividir todo esto entre la función que tenemos abajo elevada al cuadrado es decir coseno cuadrado de x ok si observas acá arriba vamos a tener coseno de x por coseno de x bueno eso es lo mismo que poseen o cuadrados de x más y por otra parte tengo seno de x por seno de x lo cual es seno cuadrado de x y ahora qué es esto que es esto que tenemos aquí si recuerdas sabemos la identidad pitagórica y eso en realidad salió de la definición del círculo unitario así que todo esto va a ser exactamente igual que uno para cualquier equis entonces todo esto va a ser igual a 1 entre el coche no cuadrado de x 1 / coseno cuadrado de x lo podemos escribir también como la secante cuadrada de x recuerda que uno entre coseno es la secante entonces si lo elevamos al cuadrado me queda esta expresión que tengo aquí así que ya está esto fue bastante sencillo ahora vamos a hacer lo mismo para el recíproco de la función tangente es decir me voy a tomar la derivada la derivada con respecto a x pero ahora de la función o tangente de x con tangente de equis y bueno esto va a ser igual y otra vez pensemos en la cota en gente como la división del coseno de x entre el seno de x así que esto es lo mismo que la derivada con respecto a x y bueno de él coseno de x lo voy a poner con este color del coste de x esto que a su vez está dividido esto a su vez está dividido entre el seno de x entre el seno de y ahora me quiero tomar la derivada de esto que tenemos aquí bueno pues esto va a ser igual y una vez más podemos usar la regla del cociente entonces esto va a ser igual a la derivada de la función que tenemos arriba la derivada del coseno recuerda que es el menos seno entonces menos el seno de x muy bien menos el seno de x por la función que tenemos abajo que es el seno de x por el seno por el seno de x ya esto hay que quitarle la función que tenemos arriba que es el coce no de x y a esto hay que multiplicarlo por la derivada de la función que tenemos abajo la derivada del seno es el coseno de x por el coseno de x y bueno a todo esto hay que dividirlo a todo esto hay que dividirlo entre la función que tenemos abajo elevada al cuadrado entonces me va a quedar el seno cuadrado de x entonces ahora que podemos simplificar bueno veamos estos dos son lo mismo que el seno cuadrado de x el seno cuadrado de x y estos dos son lo mismo que el coce no cuadrado de x así que me quedan menos el seno cuadrado de x menos el coste no cuadrado de x pero podemos factor y ser de aquí un signo negativo esto es lo mismo que menos no cuadrado de x más el coche no cuadrado de x ok y si observas todo esto de aquí va a ser lo mismo que uno estoy recordando la identidad pitagórica entonces me queda esto es lo mismo que menos uno entre el seno cuadrado de x el seno cuadrado de x muy bien y esto es exactamente lo mismo que uno entre el seno de x es la co secante de x entonces me quedarían menos la co secante cuadrada de x y ahí lo tienes