En el ejercicio SITUACIÓN 2 esta mal planteada ya que las cantidades totales de chocolate,merengue y fresa no cuadra en dicho diagrama de ven ya que ademas lo que piden es ¿Cuántos helados son exclusivamente de un solo sabor? lo que debería ser ¿Cuántos helados son exclusivamente de DOS SABORES? dada la explicación que fundamentan...solo es una observación para mejorar ademas me encanta su pagina es muy buena...muchas gracias por brindar este servicio

La verdad sí, confundió mucho

No está muy entendible el ejercicio 3. ¿Qué elementos se suman de forma vertical?

Han sumado mal. El resultado es 80.

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Curso: ES net new content 2019 > Unidad 1

Lección 1: Math content P0

Relaciones y operaciones entre conjuntos (Igualdad de conjuntos)

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Relaciones y operaciones entre conjuntos (igualdad de conjuntos)

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre operaciones básicas con conjuntos.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás la relación de igualdad entre conjuntos y su aplicación en la resolución de problemas.

Situación de reflexión

Observa los siguientes conjuntos

$A = {x / x es un número primo entre 2 y 10}$ ‍
$B = {3, 5, 7, 3, 5}$ ‍
Conjunto $C$ ‍
Gráfico del conjunto C

¿Se puede decir que los conjuntos $A$ ‍, $B$ ‍ y $C$ ‍ son iguales?

Como ya aprendiste en otra lección, un conjunto se puede representar de diversas formas. Sin embargo, para determinar la igualdad entre ellos, debemos fijarnos en las características de sus elementos.

Relación de igualdad entre conjuntos

Decimos que dos o más conjuntos son iguales si dichos conjuntos tienen los mismos elementos. Recuerda que para determinar la igualdad de conjuntos no importa el orden de sus elementos. Tampoco importa si los elementos están repetidos.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo

Si observamos con atención los siguientes conjuntos:

\begin{aligned} A & = {2 k + 1 / 7 < k < 13; k \in N} \\ B & = {25, 23, 21, 19, 17, 25, 23, 19} \end{aligned}

Se puede afirmar que los conjuntos

A

B

son iguales.

Explicación

La regla de formación para los elementos del conjunto

A

2 k + 1

Como

k

es un número natural entre

7

13

, se tiene que

k = {8, 9, 10, 11, 12}

Con estos valores de

k

obtenemos los elementos del conjunto

A

. Observa.

$k = 8 \Rightarrow 2 (8) + 1 = 17$ ‍
$k = 9 \Rightarrow 2 (9) + 1 = 19$ ‍
$k = 10 \Rightarrow 2 (10) + 1 = 21$ ‍
$k = 11 \Rightarrow 2 (11) + 1 = 23$ ‍
$k = 12 \Rightarrow 2 (12) + 1 = 25$ ‍

Entonces, el conjunto

A

es:

A = {17, 19, 21, 23, 25}

En el caso del conjunto

B

, se observa que hay elementos repetidos. Estos elementos se pueden escribir solo una vez, por lo que

B

queda así:

B = {25, 23, 21, 19, 17}

Finalmente, comparando los elementos de los conjuntos

A

B

, se verifica que tienen los mismos elementos, a pesar que se encuentran en otro orden.

Es decir

A = B

Más ejemplos

A continuación mostramos algunos ejemplos que involucran situaciones más complejas sobre la igualdad de conjuntos.

Situación 1

Dados los conjuntos iguales, donde

C, D \in N

\begin{aligned} C & = {3 x + 3 y, 2 x + y + 1, y^{2}} \\ D & = {16, 29, 48} \end{aligned}

¿Cuál es el valor de $x + y$ ‍?

Explicación

Como nos dicen que

C = D

, entonces deben tener los mismo elementos. Si observamos atentamente los elementos del conjunto

C

, se tiene que

y^{2} = 16

, ya que

y

es un número natural y

16

es un cuadrado perfecto. Por tanto,

y = 4

Conociendo el valor de

y

, reemplazamos y escribimos de otra forma el conjunto

C

C = {3 x + 12, 2 x + 5, 16}

Podemos observar que

2 x + 5

es un número impar. En el conjunto

D

el único número impar es

29

. Por tanto:

\begin{array}{r} 2 x + 5 = 29 \\ \Rightarrow x = 12 \end{array}

Comprobamos con el tercer elemento del conjunto

3 x + 12 = 48

Efectivamente,

x = 12

De esa forma, tenemos el valor de

x

y

Luego,

x + y = 16

Compruebo mi comprensión

Ejercicio 1

Considera el siguiente conjunto:

A = {x + 1 / 1 < x < 4; x \in N}

¿Cuál de los siguientes conjuntos es igual al conjunto $A$ ‍?

Dado que en el conjunto

A

, los valores para

x

son

2

3

, se puede expresar de la siguiente forma:

A = {3, 4}

Si observamos las cuatro alternativas de respuesta, el conjunto

F

, tiene los mismos elementos que el conjunto

A

Los valores que toma

x

en el conjunto

F

son

4

5

. Además, la regla de formación para obtener los elementos de este conjunto es

x - 1

Así,

F

se puede expresar de la siguiente manera:

F = {3, 4}

Ejercicio 2

Los conjuntos

P

Q

son iguales, donde

x, y \in N

\begin{aligned} P & = {x^{2} - 1; x + y; 4 x + y + 6} \\ Q & = {8; 5; 20} \end{aligned}

Calcule el valor de $x y$ ‍

Problemas verbales que se resuelve con relaciones entre conjuntos

En este apartado, mostramos algunos problemas verbales que se resuelven utilizando algunas relaciones y operaciones entre conjuntos.

Situación 1

Joel hace cuentas y se percata que durante el mes de abril practicó fútbol o natación todos los días, descansando solo 3 domingos. Él recuerda que 14 días practicó fútbol y 15 días practicó natación. ¿Cuántos días practicó ambos deportes?

Vamos a utilizar los diagramas de Venn como parte de la estrategia de solución. Pero antes vamos a resumir los datos del problema:

El mes de abril tiene 30 días ( $U (30)$ ‍).
Algunos días practicó fútbol y natación.
$14$ ‍ días practicó fútbol ( $F (14)$ ‍).
$15$ ‍ días practicó natación ( $N (15)$ ‍).
No practicó deporte $3$ ‍ días.

Con esa información, completamos las zonas del diagrama de Venn. Observamos que hay una zona de intersección que indica que en esos días Joel practicó fútbol y natación.

Como el mes de abril tiene 30 días, el conjunto universal (referente) tendrá

30

elementos (

U (30)

Ahora, dado que

3

días no practicó deporte, se coloca esta cantidad fuera del diagrama del conjunto

F

N

Además, como en

F

hay

14

elementos, se realiza el cálculo para la obtención de la cantidad de elementos que solo son de

N

. Obseva.

\begin{array}{r} 30 - (14 + 3) = 13 \end{array}

Luego, ya que

N

tiene

15

elementos (de los cuales

13

solo son de

N

), hay

2

elementos en común con

F

Por lo tanto,

2

días practicó ambos deportes.

Situación 2

En una tienda de dulces hay

60

vasos de helado de distintos sabores. De esos,

15

son de chocolate;

20

son de vainilla,

10

de fresa. Además, se sabe que

12

son de chocolate con vainilla;

8

son de fresa con vainilla;

10

de chocolate y fresa; y

5

contienen los tres sabores. ¿Cuántos helados son exclusivamente de un solo sabor?

Vamos a utilizar los diagramas de Venn como parte de la estrategia de solución, pero antes vamos a resumir los datos del problema:

Hay $60$ ‍ vasos de helados de de 3 sabores: fresa, chocolate y vainilla.
$15$ ‍ son de chocolate.
$20$ ‍ son de vainilla.
$10$ ‍ son de fresa.
$12$ ‍ de chocolate con vainilla.
$8$ ‍ de fresa con vainilla.
$10$ ‍ de chocolate con fresa.
$5$ ‍ contiene los tres sabores.

Con esa información, completamos las zonas del diagrama de Venn. Donde

x

y

z

son las cantidades de vasos de helados que solo contienen 2 sabores. Además,

5

debe ir al centro ya que este es la cantidad de vasitos que contiene los tres sabores de helados. Observa:

De este diagrama, se determina que:

$x + 5 = 8$ ‍ ya que hay $8$ ‍ helados de fresa con vainilla.
$y + 5 = 10$ ‍ puesto que hay $10$ ‍ helados de chocolate con fresa.
$x + 5 = 12$ ‍ dado que hay $12$ ‍ helados de chocolate con vainilla.

De esa forma, se resuelve cada una de las ecuaciones:

\begin{aligned} x + 5 = 8 \Rightarrow x = 3 \\ y + 5 = 10 \Rightarrow y = 5 \\ z + 5 = 12 \Rightarrow z = 7 \end{aligned}

Por lo tanto,

15

helados de un solo sabor (

x + y + z = 15

Situación 3

Se aplica una encuesta a

110

estudiantes universitarios sobre sus gustos musicales y se obtiene la siguiente información:

A $58$ ‍ estudiantes les gusta la bachata.
A $72$ ‍ estudiantes les gusta el merengue.
A $80$ ‍ estudiantes les gusta la salsa.
A $10$ ‍ estudiantes les gusta la bachata, el merengue y la salsa.

¿A cuántas de los estudiantes encuestados les gusta solo 2 géneros musicales?

Vamos a utilizar los diagramas de Venn como parte de la estrategia de solución. Asignamos variables adecuadamente, de modo que

a

c

e

representan a los estudiantes que les gusta un sólo genero musical y

b

f

d

representan a los estudiantes que les gustan dos géneros musicales.

De este gráfico, se observa:

a + b + c + d + e + f + 10 = 110

Luego,

a + b + c + d + e + f = 100

Luego, se tiene:

\begin{aligned} a + b + f + 10 = 58 \\ b + c + d + 10 = 72 \\ d + e + f + 10 = 80 \end{aligned}

Sumando en forma vertical, se obtiene

\underset{100}{\underset{⏟}{a + b + c + d + e + f}} + 2 (b + f + d) + 30 = 210

Entonces,

2 (b + f + d) = 80 \Rightarrow b + f + d = 40

Por lo tanto, a

40

personas les gusta solo 2 estilos musicales.

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Meza Jhonatan
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “En el ejercicio SITUACIÓN...” de Meza Jhonatan
En el ejercicio SITUACIÓN 2 esta mal planteada ya que las cantidades totales de chocolate,merengue y fresa no cuadra en dicho diagrama de ven ya que ademas lo que piden es ¿Cuántos helados son exclusivamente de un solo sabor? lo que debería ser ¿Cuántos helados son exclusivamente de DOS SABORES? dada la explicación que fundamentan...solo es una observación para mejorar ademas me encanta su pagina es muy buena...muchas gracias por brindar este servicio
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- TatiSol
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TatiSol
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No está muy entendible el ejercicio 3. ¿Qué elementos se suman de forma vertical?
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- Josué David
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Marco Villena
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “En el ejercicio 2 los de ...” de Marco Villena
En el ejercicio 2 los de Fresa son10 Pero uds han obtenido 13, es decir que solo fresa es -3
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ruizlia
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “porque no ay comprobantes...” de ruizlia
porque no ay comprobantes o no saben de este tema
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benjhycaza2005
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¿hay formulas en relaciones y operaciones entre conjuntos?
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ruizlia
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “porque en conjuntos no ti...” de ruizlia
porque en conjuntos no tiene comprobante tuvieron poderlo o no sabríamos si es correcto
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bortolottiosorio
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están agregando a, c, e de más
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samarianajera11
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “como puedo sacar esta rel...” de samarianajera11
como puedo sacar esta relacion de conjuntos?
1. (2,3),(3,8,6)
2. (4,2),(2,3),(6,8)
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Erik Rendon Sánchez
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “a que se deve la inmortal...” de Erik Rendon Sánchez
a que se deve la inmortalidad del cangrejo
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