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Curso: ES net new content 2019 > Unidad 1

Lección 1: Math content P0

Factorización por el método de aspas y divisores binómicos

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Factorización de expresiones por el método del aspa simple

Lo que necesitas saber para esta lección

Previamente debes revisar los diversos métodos de factorización.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás otra forma de factorizar una expresión cuadrática de la forma

a x^{2} + b x + c

con

a \neq 0

a, b, c \in R

Situación de reflexión

Juan tiene un terreno rectangular y usa la expresión

3 x^{2} - x - 2

para representar el área de su terreno.

¿Cuáles son las posibles dimensiones de su terreno?

Recordemos que para hallar el área de un rectángulo multiplicamos sus dos dimensiones. Para encontrar las dimensiones del terreno de Juan, podemos factorizar el trinomio

3 x^{2} - x - 2

Ciertamente podemos utilizar otros métodos, pero en esta oportunidad haremos la factorización aplicando el método del aspa simple (o método cruzado).

Procedimiento para factorizar un trinomio por el método del aspa simple

Para aplicar el método del aspa simple, seguiremos el siguiente procedimiento:

1) Ordenar el trinomio en forma decreciente según la forma

a x^{2} + b x + c

2) Descomponer en factores convenientes términos extremos del polinomio.

3) Multiplicar en forma cruzada los factores descompuestos y comprobar que el término central sea igual a la suma de los productos parciales.

En este caso observamos que

(- 3 x) + (+ 2 x) = - x

, donde

- x

es el término central del trinomio

3 x^{2} - x - 2

Si esto no se cumple, debes cambiar los factores descompuestos o cambiar sus signos o hacer ambas cosas a la vez.

4) Agrupar los términos en forma horizontal y escribir el trinomio como producto de los factores

3 x^{2} - x - 2 = (3 x + 2) (x - 1)

Vemos que

3 x + 2

x - 1

son factores de

3 x^{2} - x - 2

Para comprobar la factorización, multiplicamos los factores:

\begin{aligned} (3 x + 2) (x - 1) & = (3 x + 2) (x) + (3 x + 2) (- 1) \\ = 3 x^{2} + 2 x - 3 x - 2 \\ = 3 x^{2} - x - 2 \end{aligned}

El producto de

3 x + 2

x - 1

3 x^{2} - x - 2

¡Nuestra factorización es correcta!

Finalmente, las posibles dimensiones para el terreno de Juan son

3 x + 2

x - 1

unidades.

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza:

4 x^{2} - 11 x - 3

Ingresa tu respuesta:

2) Factoriza:

4 - x^{2} + 3 x

Ingresa tu respuesta

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Factorización de expresiones por el criterio de los divisores binómicos

Lo que necesitas saber para esta parte de la lección

Antes de continuar, te sugerimos revisar los siguientes tópicos:

Lo que aprenderás en esta parte de la lección

En esta parte de la lección, mostramos como factorizar polinomios de una variable con coeficientes enteros que tenga al menos un factor lineal en su factorización.

Un factor lineal es una expresión algebraica (que se obtiene al factorizar dicha expresión) en donde el exponente de la variable es igual a 1. Observa.

Para la expresión $P (x) = (x + 2) (x^{2} + 1)$ ‍ que ya está factorizada, se observa que los factores de $P$ ‍ son $x + 2$ ‍ y $x^{2} + 1$ ‍. De estas dos expresiones, $x + 2 = x^{1} + 2$ ‍ tiene a $1$ ‍ como exponente de la variable, entonces es un factor lineal.

Por el contrario, se tiene que el factor

x^{2} + 2

no es lineal sino cuadrático (el exponente de su variable es

2

Situación de reflexión

César representa el volumen de una caja de zapatos mediante la expresión

x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8

. ¿Cuáles son las posibles dimensiones de la caja?

Para resolver esta situación, debemos factorizar el polinomio de una variable

x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8

Para factorizar, utilizaremos el método de los divisores binómicos (también conocido como criterio de los ceros racionales). Empezaremos por buscar los divisores positivos y negativos del término independiente del polinomio a factorizar.

El término del polinomio que no se acompaña de la variable (no la multiplica) es el término independiente. Por ejemplo:

El término independiente del polinomio $Q (x) = 5 x + 3 x^{2} + 1$ ‍ es $1$ ‍, ya que es el término que no está multiplicado por la variable $x$ ‍.
El término independiente del polinomio $N (y) = y^{7} + y^{6} - s y - \sqrt{2}$ ‍ es $- \sqrt{2}$ ‍, que es el término que no está multiplicado por la variable $y$ ‍.

Procedimiento para factorizar utilizando el criterio de los divisores binómicos

Para explicar el procedimiento, vamos a utilizar la expresión

x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8

que representa el volumen de la caja de zapatos de César.

Llamamos

P

a esa expresión:

P (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8

1) Hallamos los divisores del término independiente de

P

que es

8

Divisores de

8

+ 1, + 2, + 4, + 8, - 1, - 2, - 4, - 8

2) Reemplazamos alguno de estos valores en

P

, de tal forma que se obtenga cero. Observa:

\begin{aligned} Si x = 1 & \Rightarrow P (1) = (1)^{3} + 7 (1)^{2} + 14 (1) + 8 \\ \Rightarrow P (1) = 30 \\ Si x = - 1 & \Rightarrow P (- 1) = (- 1)^{3} + 7 (- 1)^{2} + 14 (- 1) + 8 \\ \Rightarrow P (- 1) = 0 \end{aligned}

¡ $x = - 1$ ‍ es el valor que buscamos!

Ahora aplicaremos el teorema del factor.

3) Ya hemos comprobado que

(x + 1)

es factor de

P (x)

, pues

P (- 1) = 0

. Si tienes dudas, revisa el Paso 2.

Por tanto,

P (x)

se expresa de la siguiente forma:

P (x) = (x + 1) Q (x) \Rightarrow Q (x) = \frac{P (x)}{(x + 1)}

Obtenemos

Q (x)

, utilizando el método de Ruffini (conocido también como división sintética). Si no recuerdas como aplicarlo puedes revisar método de Ruffini (o método de la división sintética)

Luego de dividir, se observa que el trinomio

x^{2} + 6 x + 8

todavía se puede seguir factorizando por el criterio del aspa simple.

Por tanto,

P (x)

queda expresada como:

(x + 1) (x^{2} + 6 x + 8) = (x + 1) (x + 2) (x + 4)

Donde algunos de sus factores son

x + 1

x + 2

x + 4

El producto de

x + 1

x + 2

x + 4

x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8

¡Nuestra factorización es correcta!

Finalmente, las posibles dimensiones para el volumen de la caja de zapatos de César son

(x + 1)

(x + 2)

(x + 4)

unidades.

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza

Q (x) = x^{3} - 7 x + 6

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2) Factoriza

P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 23 x - 10

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Héctor Coello
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Hay un error en el signo ...” de Héctor Coello
Hay un error en el signo -x cuando explica Ruffini
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