Puntos silla

en el último vídeo hablamos de que cuando tratamos de maximizar o minimizar una función de varias variables puedes digamos imaginar su gráfica verdad y hasta que tenemos del lado izquierdo en realidad depende de dos variables verdad es una función que depende de dos variables y buscamos los sitios en donde el plano tangente es paralelo al plano x y una forma de imaginar esto es pensar en el plano que representa al al valor de z digamos a un valor constante de z digamos un valor ce y si lo mueves hacia arriba y hacia abajo en realidad estamos buscando el plano que apenas intersec a la gráfica antes de que ya no lo haga más verdad pero tenemos otros puntos como los máximos locales que en realidad los podemos ver como unas especies de lo más verdad y es en donde el valor de la función en ese punto es más grande que digamos en sus vecinos verdad en los vecinos de alrededor pero también hay cierta posibilidad de que aparece en estas funciones y esta es la idea de puntos y ya así que déjenme poner otra gráfica aquí tenemos otra gráfica y la función cuya gráfica es esta la voy a escribir aquí en realidad es la función f de x que depende de dos variables también y esto es x cuadrada menos que cuadrada muy bien entonces pensemos quién sería el plano tangente a la gráfica en el origen y en realidad este este plano es paralelo al plano xy y así se ve así que vamos a convencernos de ello al calcular las derivadas parciales de nuestra función efe entonces calculamos la derivada parcial de nuestra función f con respecto a x primero verdad por supuesto cuando hacemos esto en realidad sólo consideramos esta parte porque esto es una constante y al derivar nos da 0 verdad entonces al derivar x cuadrada nos da 2x verdad por otro lado si calculamos la derivada parcial con respecto de y ahora lo que depende de y es justo esta parte verdad entonces al derivar nos da - 2 y lo importante aquí es que ahora en realidad queremos evaluar en un punto particular y dijimos que era en el origen es decir en el punto xy igual a 0 0 entonces al evaluar en 0 0 esto de aquí nos da 0 verdad 2 por 0 es cero y esto de acá también nos da 0 muy bien a ambos nos dan 0 y lo que significa es que si te mueves en cualquier dirección entonces siempre vamos a encontrar una pendiente 0 verdad y una forma de imaginar esto es cortando a la gráfica ok entonces vamos a imaginar un plano con digamos un valor constante para x y verás que la curva donde intersecta a la gráfica déjenme de marcarla esta gráfica ahora tiene un máximo en el origen verdad y de hecho la línea tangente en ese punto verdad en la dirección y es justamente horizontal entonces en realidad aquí se ve como si fuera un máximo local ahora imaginemos que la cortamos en otra dirección digamos con con un plano que represente presente a un valor constante de y en este caso vemos que la curva de intersección se ve más o menos así verdad de hecho tiene una forma parabólica y nuevamente la línea tangente en el en el 0 verdad es horizontal pues tenemos una especie de mínimo local de esta curva verdad y debido a esto y a lo anterior en realidad el plano tangente es paralelo al plano x pero notemos que en realidad este punto que estamos estudiando no es ni un máximo y un mínimo local en realidad en una dirección parece un máximo en otra dirección se ve como si fuera un mínimo local verdad y esto tiene bastante sentido porque si por ejemplo nosotros pensamos en esta función verdad y pensamos solo moviéndonos en la dirección x entonces esto se vería como x cuadrada quizás más otra constante verdad entonces esto se vería más o menos así vamos a hacer un poco de espacio esto se vería más o menos así verdad se ve como x cuadrada que es una parábola que abre hacia arriba y por lo tanto tenemos un punto mínimo verdad en cambio si solo nos moviéramos en la dirección de iu entonces ésta sería como menos cuadrada más una constante y eso se vería más o menos así verdad como una una especie de para bueno es es justamente una parábola invertida y esto en realidad hace que parezca que en ambas direcciones hay como una especie de desacuerdo de si el punto es un máximo o es un mínimo y esto es algo nuevo en cálculo de varias variables porque típicamente cuando tenemos una función de una variable pues justo solo tenemos una dirección verdad entonces típicamente digamos podríamos tener nuestros ejes digamos podemos tener nuestros ejes aquí tenemos nuestra variable x pensamos en la gráfica de alguna función digamos algo así y salvo algunos casos de generados lo que vamos a tener es que los puntos en donde la línea tangente es horizontal pues son o máximos o pueden ser mínimos verdad quizás algo algunos ejemplos éste generados entonces estos son los casos más comunes en una variable verdad pero aquí en varias variables tenemos la otra posibilidad que ya hemos mencionado y esta posibilidad es a la que llamamos punto silla punto muy bien y este es uno de esos casos en que me gusta la terminología de los matemáticos porque esto se parece justamente a una silla de montar verdad que sé que es la que se le pone a los caballos para cabalgar así que en el problema de maximizar o minimizar una función que quizás representa las ganancias de tu empresa hay que saber reconocer si podríamos tener un punto silla porque si ves digamos la gráfica está muy bien y lo puedes detectar visualmente pero a veces solo tienes la fórmula y hay que saber determinar si tenemos un punto silla sin necesidad de ver la gráfica y eso es de lo que habla el criterio de la segunda derivada y del que hablaremos en el siguiente vídeo