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Curso: 5° Secundaria - Metas de Aprendizaje - Lima > Unidad 2
Lección 5: Área y volumen de sólidos- Intuición para el volumen de conos
- Área de la superficie curva de un tronco
- Área de un tronco
- Aplicar volumen de sólidos
- Aplica volumen de sólidos
- Volumen de tronco
- Volumen de un tronco
- Volumen de una pirámide o de un cono
- Volumen de figuras compuestas
- Homotecia en 3D
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Volumen de una pirámide o de un cono
¿De dónde sale el 1/3 en la fórmula para el volumen de una pirámide? ¿Cómo se relaciona con el volumen de un cono? ¿Qué pasa con las pirámides oblicuas (las que se inclinan a un lado)?
¿Qué son pirámides y conos?
Una pirámide es la colección de todos los puntos entre (e inclusive) una base en forma de polígono y un ápice que está en un plano diferente al de la base.
Otra manera de pensar en una pirámide es como una colección de todas las homotecias de la base, con el ápice como centro de homotecia, con factores de escala de a .
Un cono es una figura piramidal, o en forma de pirámide, cuya base es un círculo u otra curva cerrada en lugar de un polígono. Un cono tiene una superficie lateral curva en lugar de varias caras triangulares; pero en términos de volumen, un cono y una pirámide son similares.
Volumen de una pirámide
La fórmula para el volumen de una pirámide es . ¿De dónde sale esa fórmula?
¿De dónde sale en la fórmula?
Supongamos que empezamos con un cubo cuya longitud lateral es unidad. Podemos rebanar ese cubo en pirámides congruentes.
Escalar la pirámide
Escalar una pirámide funciona exactamente de la misma manera que escalar el prisma que la encierra. Cuando escalamos una pirámide con volumen por los factores de , y en tres direcciones perpendiculares, entonces el volumen de la figura escalada es .
idea clave: el volumen de una pirámide sigue siendo del volumen del prisma que la encierra, incluso después que escalamos ambos.
Deslizar las rebanadas
Imagina que rebanamos la pirámide en capas paralelas a su base. Podemos deslizar esas capas sin cambiar el volumen. A medida que el número de capas se acerca a infinito, nuestra pirámide remodelada se suaviza.
El principio de Cavalieri dice que mientras no cambiemos la altura ni las áreas de secciones transversales paralelas a la base de la pirámide, ¡tampoco cambiamos el volumen! Podemos utilizar la misma fórmula para el volumen de la pirámide sin importar dónde movamos el ápice.
Cambiar la forma de la base
Hay otra aplicación realmente fascinante del principio de Cavalieri a las pirámides. Dos bases pueden tener la misma área y formas totalmente diferentes. Si la altura y el área de la base de dos pirámides o sólidos en son iguales, también lo son sus volúmenes, pues las áreas de todas las demás secciones transversales paralelas a la base también deben ser iguales.
Entonces nuestra fórmula funciona, sin importar la forma 2D que tenga la base.
Obtener de otra manera
Otra manera en que los matemáticos como tú se han convencido que el volumen de una pirámide es del volumen del prisma que la contiene es al aproximar el volumen con prismas.
Podemos modelar una pirámide como una pila de prismas, como al construir una pirámide con bloques. El volumen de este modelo es mayor que el de la pirámide. A medida que hacemos capas más y más finas, nos acercamos cada vez más al volumen de la pirámide.
Número de capas | |
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Como las figuras prismáticas pueden tener cualquier figura cerrada 2D en sus bases, y como podemos inclinar el prisma sin cambiar su volumen, la razón es válida para todas las figuras piramidales, incluyendo a los conos.
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- ¿Qué tan importante son hallar los volúmenes de las pirámides?(4 votos)
- Es importante porque gracias al volumen podremos saber la capacidad de un recipiente. En este caso, la de nuestra pirámide. ¡Importante! Recuerden las unidades de medida.(2 votos)
- ¿Por que es tan importante aprender todas las formulas para hallar el área, base, volumen, etc.?(1 voto)
- ¿Cuál lapiz mide
3
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(0 votos) - ok estabien y en conclusion(0 votos)