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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4

Lección 2: Integrales de línea para funciones escalares (artículos)

Ejemplos sobre la longitud de arco de gráficas de funciones

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Practica encontrar la longitud de arco de diversas gráficas de funciones.

Antecedentes

Introducción a la longitud de arco de gráficas de funciones

Ejemplo 1: práctica con un semicírculo

Considera un semicírculo de radio

1

, centrado en el origen, como se muestra a la derecha. De la geometría, sabemos que la longitud de la curva es

π

. Practiquemos nuestro nuevo método para calcular la longitud de arco y redescubramos la longitud de un semicírculo.

Por definición, todos los puntos

(x, y)

sobre el círculo están a distancia

1

del origen, por lo que

$x^{2} + y^{2} = 1$ ‍

Reescribimos esta igualdad para expresar

y

como función de

x

, y obtenemos

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$ ‍

Conforme construyes la integral de longitud de arco, ayuda imaginar que aproximas la curva con un montón de pequeños segmentos de recta.

Si ignoramos los límites de integración por un momento, la integral es:

$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍

Como antes, pensamos que el integrando

\sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}

representa la longitud de cada uno de estos pequeños segmentos que aproximan la curva (por medio del teorema de Pitágoras).

Comenzamos por sustituir la definición de nuestra curva en la integral.

Paso 1: escribe $d y$ ‍ en términos de $d x$ ‍

Usa el hecho de que

y = \sqrt{1 - x^{2}}

para escribir

d y

en términos de

d x

$d y =$ ‍
$d x$ ‍

Paso 2: sustituye $d y$ ‍ en la integral

Sustituye esta expresión para

d y

en la integral, de tal forma que el integrando quede en términos de

x

d x

solamente.

$\int$ ‍
$d x$ ‍

Paso 3: establece los límites de integración y resuelve

Ya que la curva está definida entre

x = - 1

x = 1

, establece estos valores como los límites de integración y resuélvela.

(Lo sentimos, no hay una cajita de respuesta con palomita verde. Sabemos de la geometría que la longitud de arco es

π

, pero la parte interesante es trabajar la integral para ver cómo surge

π

de la integral de longitud de arco).

Nuestra integral se ve así:

$\begin{array}{r} \int_{- 1}^{1} \sqrt{\frac{1}{1 - x^{2}}} d x \end{array}$ ‍

Ahora, hay varias formas de proceder.

Sustituye esta integral en una calculadora o sistema computacional de álgebra y obtén la respuesta.
De algún modo, recuerda que esta integral es $\arcsin (x)$ ‍.
Resuelve la integral con una sustitución trigonométrica.

Todas estas formas son válidas, pero la más interesante es hacer la sustitución trigonométrica. En vez de simplemente sustituir y calcular, quiero aclarar un poco su significado geométrico. Ojalá con esto te quede claro cómo y por qué funciona esta técnica, y puedas en el futuro determinar si dicha sustitución es útil para otras integrales que se atraviesen en tu camino.

¿Qué significa que nuestra integral está escrita en términos de

x

? Básicamente, que caminas sobre el eje

x

, de

- 1

1

, y mides el fragmento de longitud de arco del círculo conforme avanzas.

Sin embargo, en este caso, puede ser natural imaginar que caminas sobre el círculo mismo. Considera el diagrama siguiente:

Podemos describir cada punto en el círculo con un valor del ángulo

θ

entre

0

π

. Más aún, ya que el radio es

1

, el valor de

θ

, medido en radianes, en efecto refleja la longitud de arco. Un pequeño cambio en

d θ

resultará en un pequeño cambio en la longitud de arco. Por lo tanto, es razonable que una integral alternativa para describir la longitud de arco deseada sea

$\begin{array}{r} \int_{0}^{π} d θ \end{array}$ ‍

En un sentido, hemos terminado. Es fácil ver que esta integral es igual a

π

, que ciertamente es la longitud de arco de un semicírculo. Pero ¿cuál es la relación entre esta y nuestra integral original?

El valor

x

de cualquier punto en el círculo es

$x = - \cos (θ)$ ‍

Esta relación sugiere que sustituir

- \cos (θ)

en vez de

x

simplificará nuestra integral. Llevemos a cabo el proceso paso a paso. Cuando utilizamos esta sustitución, tenemos que hacer tres cosas:

Paso 1: reemplazar

x

con

- \cos (θ)

Paso 2: reemplazar

d x

con

d (- \cos (θ)) = \sin (θ) d θ

Paso 3: escribir los límites de integración,

x = - 1

x = 1

, en términos de

θ

La relación $x = - 1$ ‍ es equivalente a $- \cos (θ) = - 1$ ‍. Esto sucede cuando $θ = 0$ ‍.
La relación $x = 1$ ‍ es equivalente a $- \cos (θ) = 1$ ‍. Esto sucede cuando $θ = π$ ‍.

Al aplicar todas estas sustituciones, obtenemos

\begin{array}{r} \int_{- 1}^{1} \sqrt{\frac{1}{1 - x^{2}}} d x \to \int_{0}^{π} \sqrt{\frac{1}{1 - \cos^{2} (θ)}} \sin (θ) d θ \end{array}

Con la identidad

\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1

, simplificamos la integral:

$\begin{aligned} \int_{0}^{π} \sqrt{\frac{1}{1 - \cos^{2} (θ)}} \sin (θ) d θ \\ \int_{0}^{π} \sqrt{\frac{1}{\sin^{2} (θ)}} \sin (θ) d θ \\ \int_{0}^{π} \frac{1}{\sin (θ)} \sin (θ) d θ \\ \int_{0}^{π} d θ \end{aligned}$ ‍

Así que, sí, la sustitución trigonométrica en general simplifica nuestra integral, pero no por acto de magia. La razón por la que hace las cosas más sencillas es que es más natural describir la curva con el parámetro

θ

, como se muestra en el diagrama anterior.

Practica escribir integrales de longitud de arco

A menudo es difícil calcular la integral de longitud de arco. Sin embargo, la hábilidad que es importante practicar es escribirla correctamente. Desarrollemos esta habilidad un par de veces sin preocuparnos por calcular la integral resultante (puedes usar una calculadora o Wolfram alpha una vez que la tengas).

Ejemplo 2: curva sinusoidal

¿Cuál integral representa la longitud de arco de la gráfica

y = \sin (x)

entre

x = 0

x = 2 π

$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \end{array}$ ‍
$d x$ ‍

a =

b =

Como siempre, la integral comienza por verse así:

$\begin{array}{r} \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \end{array}$ ‍

Paso 1: escribe

d y

en términos de

d x

$\begin{aligned} y & = \sin (x) \\ d (y) & = d (\sin (x)) \\ d y & = \cos (x) d x \end{aligned}$ ‍

Pienso que es esclarecedor que te recuerdes a ti mismo lo que esto significa, más allá de solo poner el símbolo

d

enfrente de todo. Si estás parado en un punto

(x, y)

sobre una curva y das un pequeño paso

d x

a la derecha, la cantidad que debes caminar verticalmente para terminar en la curva resulta ser

\cos (x) d x

Paso 2: sustituye este valor de

d y

en la integral.

$\begin{aligned} \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} & = \int \sqrt{d x^{2} + (\cos (x) d x)^{2}} \\ = \int \sqrt{1 + \cos^{2} (x)} d x \end{aligned}$ ‍

Paso 3: escribe los límites de integración.

En este caso, el problema explícitamente dice que

x

va de

0

2 π

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2 π} \sqrt{1 + \cos^{2} (x)} d x \end{array}$ ‍

Ejemplo 3: arriba, no a la derecha

Considera la curva dada por

$y = \pm \sqrt{x}$ ‍

para todos los valores tales que

x \leq 4

. Encuentra una integral que represente la longitud de arco de esta curva, pero, esta vez, escribe la integral en términos de

y

, no de

x

$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \end{array}$ ‍
$d y$ ‍

a =

b =

A diferencia de los ejemplos anteriores, la curva no es una gráfica de una sola función de

x

. En cambio, involucra dos funciones distintas:

$y = \sqrt{x}$ ‍

$y = - \sqrt{x}$ ‍

Sin embargo, es la gráfica de una función de

y

con respecto a

x

$x = y^{2}$ ‍

Así que en vez de construir dos integrales distintas en términos de

d x

, cada una pensada como caminar a la derecha sobre la gráfica, construimos una sola integral con respecto a

d y

, que pensamos como caminar la curva de arriba a abajo.

Los pasos para establecer esta integral son casi idénticos a todos los que hemos hecho hasta este punto, pero presta mucha atención a cómo ahora escribimos todas las expresiones con

x

en términos de

y

, y no al revés.

Paso 1: escribe $d x$ ‍ en términos de $d y$ ‍

$\begin{aligned} x & = y^{2} \\ d (x) & = d (y^{2}) \\ d x & = 2 y d y \end{aligned}$ ‍

Paso 2: sustituye este valor de $d x$ ‍ en la integral

$\begin{aligned} \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} & = \int \sqrt{(2 y d y)^{2} + d y^{2}} \\ = \int \sqrt{((2 y)^{2} + 1) d y^{2}} \\ = \int \sqrt{4 y^{2} + 1} d y \end{aligned}$ ‍

Paso 3: escribe los límites de integración

Esta vez, el integrando está en términos de

y

, por lo que los límites de integración deben reflejar valores de

y

Al observar la gráfica de arriba, podemos ver que los valores de

y

para los extremos de la curva, correspondientes a

x = 4

, son

y = - 2

y = 2

$\begin{array}{r} \int_{- 2}^{2} \sqrt{4 y^{2} + 1} d y \end{array}$ ‍

La razón fundamental para escribir las cosas en términos de

y

en vez de

x

es que es más fácil pensar en movernos sobre esta curva de arriba a abajo, en vez que de izquierda a derecha. En general, y este es un principio importante a recordar, cuando integras a lo largo de una curva, las fórmulas y símbolos que usas deben reflejar cómo caminarías sobre ella.

Ejemplo 4: generalización

Supón que tienes una función arbitraria cualquiera,

f (x)

, cuya derivada es

f^{'} (x)

. ¿Cuál de las siguientes integrales representa la longitud de arco de la gráfica

$y = f (x)$ ‍

entre los puntos

x = a

x = b

A menudo, la gente comienza a enseñar la longitud de arco con su fórmula integral. Personalmente, creo que eso elimina toda la diversión de descubrirla por uno mismo y de adquirir una intuición genuina de lo que representa en realidad.

Resumen

Usamos la frase longitud de arco para describir qué tan larga es una curva. Si imaginas la curva como una cuerda, esta es su longitud una vez que la tensas.
Puedes encontrar la longitud de arco de una curva con una integral de la forma
$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍
Si la curva es la gráfica de una función $y = f (x)$ ‍, sustituye el término $d y$ ‍ con $f^{'} (x) d x$ ‍ y luego factoriza $d x$ ‍. Los límites de integración serán los valores de $x$ ‍ más a la izquierda y a la derecha de de la curva.
Cuando escribes una integral de longitud de arco, ayuda pensar cómo escogerías caminar sobre ella.

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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4

Antecedentes

Ejemplo 1: práctica con un semicírculo

Paso 1: escribe dy‍ en términos de dx‍

Paso 2: sustituye dy‍ en la integral

Paso 3: establece los límites de integración y resuelve

Practica escribir integrales de longitud de arco

Ejemplo 2: curva sinusoidal

Ejemplo 3: arriba, no a la derecha

Ejemplo​ 4: generalización

Resumen

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Paso 1: escribe $d y$ ‍ en términos de $d x$ ‍

Paso 2: sustituye $d y$ ‍ en la integral

Ejemplo 4: generalización