Comprensión gráfica de las derivadas parciales

hola a todos aquí tengo la gráfica de una función de dos variables y quisiera hablar de cómo podríamos interpretar la derivada parcial de esta función específicamente tengo la función f de x xi y estamos viendo su gráfica fx igual a x cuadrada por ye más el seno de ella y la pregunta es si tomamos la derivada parcial de esta función digamos la derivada parcial de f con respecto a x aunque digamos que quiero hacer esto en menos 11 muy bien así que estamos viendo a la derivada parcial en este punto específico como interpretamos esto en toda la gráfica primero consideremos donde se encuentra el punto menos 11 muy bien y si aquí lo vemos entonces aquí tenemos el eje x el eje i y el punto menos 11 se encuentra justo ahí así que el menos uno digamos nos movemos uno hacia arriba verdad cuando estamos hablando de derivadas parciales con respecto de x estamos pretendiendo que ya es constante así que de hecho vamos a tratar de evaluar esto cuando hacemos esto digamos x cuadradas se ve como nuestra variable verdad y que simplemente serían una constante seno de jett también sería una constante así que la derivada parcial con respecto de x verdad sería 2x porque que ya es como una constante y luego la derivada de una constante de cero verdad así que estamos evaluando todo esto en x igual a menos 1 y es igual a 1 verdad así que cuando cuando introducimos estos valores verdad sería 2 x menos uno por uno que es menos 2 aquí y qué significa esto bueno cuando evaluamos quizás estamos pensando que tenemos un pequeño cambio en la dirección de x verdad y eso nos resulta en un cambio en f verdad qué significa esto para la gráfica bueno primero tratamos aie constante y básicamente es digamos cortar toda la gráfica con un plano que representa a un valor constante de iu así que si tenemos aquí el eje y y el plano que lo corta perpendicular esto representa a un y constante para allá y este representa al valor de igual a uno verdad ahora bien si imaginamos que estamos desplazando este plano digamos hacia adelante y hacia ella hacia atrás esto representaría distintos valores fijos para iu pero digamos esto pensándolo para una derivada parcial general verdad y podríamos imaginar que en realidad por ejemplo aquí cuando hoy es igual a 1 podríamos cortar la gráfica en ese punto y dibujar una línea roja y esta curva roja básicamente son todos los puntos que se encuentran en la gráfica en donde ya es igual a 1 así que voy a remarcar esto esto es cuando ya es igual a 1 entonces cuando nos fijamos en esto de hecho podemos interpretar la derivada parcial como una pendiente porque justamente nos estamos fijando en el punto de aquí y nos preguntamos cómo es que la función cambia cuando nos movemos en la dirección x así que el cálculo de una variable con el cual quizás ya estás familiarizado verdad cuando pensamos en esto en realidad pensamos como la pendiente de una línea verdad y para hacer un poquito más concretos podría decir que al iniciar aquí consideramos una pequeña desviación por aquí un pequeño paso verdad lo estoy dibujando quizás muy grande pero puedes imaginar que realmente es un paso muy muy muy pequeño verdad una de equis y entonces medimos la distancia que nos genera con la función aquí verdad el cambio en el valor de nuestra función y dije de equis pero quizás debería decir parcial de equis verdad o parcial de f y si éste si esta desviación es muy pequeña o lo vamos haciendo cada vez más y más y más pequeño este cambio de aquí en realidad va a corresponder con lo que lo que corresponde a la línea tangente es decir a la pendiente de dicha línea verdad es tenemos el cociente entre el cambio horizontal y el cambio vertical verdad y si nos fijamos en el valor en la línea verdad parece que tiene una pendiente negativa es más o menos de menos 2 y podría de hecho es esto tiene sentido verdad que hayamos obtenido menos 2 verdad y lo estamos viendo pero ahora hagamos lo siguiente tenemos la derivada parcial con respecto a y vamos a borrar lo que teníamos anteriormente y ahora vamos a ver qué es lo que pasa con la gráfica muy bien vamos a quitar todo esto ya no vamos a estar cortando con respecto a y ahora lo que vamos a hacer es un corte con un valor constante de x así que si tenemos aquí el eje x este plano corresponde a un valor constante de x igual a menos 1 y podríamos cortar a la gráfica aquí ok si la cortamos entonces nuevamente dibujamos nuestra línea roja que representa la curva en este en este lugar verdad representa el valor de x igual a menos 1 son todos los puntos en la gráfica en donde x es igual a menos 1 y ahora tomamos la derivada parcial y vamos a interpretarlo como un corte verdad digamos va a ser la pendiente de esta curva resultante verdad la pendiente de la recta tangente verdad y esto termina viéndose así aquí tenemos nuestra línea azul verdad vamos ahora a evaluar la derivada parcial de f con respecto de sí así que vámonos aquí usemos otro color tenemos la parcial de f con respecto de y verdad y entonces tendríamos x cuadrada porque verdad si derivamos verdad considerando x cuadrada como una constante tendríamos simplemente que la derivada de ye que es nuestra variable verdad es 1 verdad y eso simplemente nos da x cuadrada y ahora por ejemplo por acá tenemos el seno de la derivada de de esto con respecto al escocés no de y muy bien y si de hecho quisiéramos evaluar esto en nuestro punto menos 11 entonces tendríamos aquí menos 1 al cuadrado que es uno más el coseno de uno y en realidad no sé cuánto vale el coseno de uno pero bueno eso lo sé que es algo ligeramente positivo verdad y el último resultado que vemos aquí a final de cuentas es que va a ser uno más otra cosa verdad que es positivo y en realidad no sabemos cuánto es pero bueno es algo positivo verdad y eso tiene sentido porque cuando nos fijamos en la pendiente de aquí es un poquito mayor que uno no sabemos exactamente cuánto pero es mayor que 1 así que a menudo vas a escuchar que algunas personas hablan de tomar derivadas parciales como las pendientes de los cortes de una gráfica lo cual es bastante bueno si nos fijamos en una función que tiene una entrada de dos dimensiones y una salida de una dimensión en realidad podríamos pensar en su gráfica y en otros contextos quizás este no es el caso quizás digamos tenemos una salida multidimensional de lo cual vamos a hablar más adelante en particular de cómo se ven sus derivadas parciales o también podríamos tener algo que tiene no se sientas de entradas verdad y ciertamente no podemos visualizar la gráfica pero la idea general es bueno pensar qué pasaría si damos un paso muy muy pequeño en una dirección así que aquí lo que estamos haciendo es reto el contexto de la gráfica verdad nos fijamos en un punto por aquí y decimos damos un pequeño paso en la dirección llego en la dirección x y eso los vamos a llamar derivadas parciales respecto de yo respecto de x verdad y eso hace algún cambio en nuestra función ya eso es a lo que vamos a llamar parcial de la función verdad la derivada parcial y puedes imaginar que esto se está haciendo muy muy muy pequeño como resultado del cambio verdad y al final lo que tenemos es una proporción verdad de cómo cambia la función dividido entre lo que avanzamos en una dirección verdad y esa es una pendiente de una línea verdad que digamos para pasos infinitamente pequeños sería una línea tangente así que esta es una forma de interpretar esa proporción verdad el cambio en la salida que corresponde a un pequeño una pequeña desviación en la entrada ya más adelante hablaremos de otras formas en que podemos hacer esto así que yo creo que pensar en gráficas es muy útil pero cuando digamos nos movemos hacia otros contextos en realidad ya no es muy muy conveniente verdad me gusta pensar en las gráficas porque es bueno saber estas cosas pero no son la única forma de entenderlas y no quiero que te ates completamente a la idea de las gráficas incluso cuando puedan ser muy útiles en el contexto de dos variables de entrada y una variable de salida nos vemos en el próximo vídeo