La divergencia. Ejemplo

aquí tengo un campo vectorial que estoy llamando como b verdad este es el campo vectorial b que depende de dos variables x y la primera componente es x porque y la segunda componente es cuadrada - x cuadrada y de hecho aquí arriba tengo una imagen que describe cómo se ve este campo vectorial verdad esta es la representación o una representación de éste desde campo vectorial y lo que quiero hacer en este vídeo es calcular la divergencia de este campo vectorial y también interpretarlo muy bien entonces nosotros sabemos ya de vídeos anteriores cómo calcular la divergencia verdad la divergencia del campo vectorial de por supuesto depende también de nuestras dos variables x y ye y esta en realidad se calcula de forma muy fácil verdad lo vimos en vídeos anteriores y es la derivada de p con respecto de la primera variable que es x verdad y por supuesto aquí p se refiere a la primera componente verdad esto sería de equis y la segunda componente la llamamos q de x coma de verdad solo para tener claro de qué estamos hablando pero en realidad podríamos hablar o poner digamos cualquier letra aquí verdad pero vamos a usar p y q y luego tenemos que sumar aquí la derivada parcial de q con respecto a la segunda variable que en este caso es de verdad entonces en este caso si derivamos p con respecto de x verdad vamos a derivar esto con respecto de x que sería una constante y entonces el resultado de verdad simplemente derivamos x y luego derivamos la segunda componente con respecto de y esto es una constante sea al derivar lo se hace cero entonces sólo tenemos que derivar ye cuadrada que es 2 ya su derivada verdad así que el total sería 3 y esto de aquí es el valor de la divergencia de este campo vectorial en cada punto verdad y podemos notar que en realidad sólo depende de la segunda variable es decir de la altura a la que nos encontremos en el plano verdad así que por ejemplo por ejemplo si ponemos el valor de igual a cero verdad entonces la divergencia sería cero así que si vamos por ejemplo aquí arriba verdad si vamos aquí arriba este es el conjunto de igual a cero justamente es todo este digamos esta recta es justamente de igual a cero y cuando ya es igual cuando ya es igual a cero la divergencia es cero verdad y eso significa que todo lo que entra digamos si nos colocamos en algún punto de aquí verdad y pensamos en digamos cuánto fluido entrada digamos a una zona cercana de este punto y cuánto sale pues resulta que lo que entra es lo mismo que sale verdad y lo mismo podríamos pensar de un punto por aquí por ejemplo digamos aquí las flechas son más chiquitas quiere decir que lo que entra es menos verdad pero lo que sale es exactamente lo mismo y esa es la idea de que la divergencia sea cero verdad ahora qué pasaría si por ejemplo no tomamos pero si no tomamos de igual a 3 entonces regresemos a la imagen verdad aquí con e igual a 3 tendríamos 123 y si tomamos por ejemplo un punto nos por aquí digamos este punto tomamos no sé alguna alguna vecindad verdad de este punto entonces podemos ver aquí que lo que entra de este lado es muy poquito comparado contra lo que sale verdad eso significa que la divergencia es positiva y de hecho así es verdad cuando es igual a 3 la divergencia es 3 por 3 que es 9 y eso es positivo verdad entonces aquí tendremos que la divergencia es positiva y en realidad no importa si estamos del lado derecho por ejemplo estamos aquí de este lado verdad podríamos tomar una bolita aquí también vemos que aquí entra muy poquito mientras que aquí sale muchísimo verdad sale muchísimo ahora qué pasaría si tomáramos el valor no de no de 3 si no no sé digamos menos 4 podríamos tomar cualquier cosa que sea negativa aquí la divergencia serían menos 4 x 3 que es menos 12 y entonces al regresar a nuestra imagen podemos irnos a menos 4 verdad y podríamos tomar no sé un punto por aquí verdad tomamos una bolita alrededor y vemos que todo lo que entra es mucho mayor que lo que está saliendo verdad entra mucho más rápido que lo que sale y eso tiene sentido porque la divergencia en este caso es negativa y de la imagen en realidad podemos comprobar esta idea de que la divergencia es negativa si el valor de iu es negativo ya primera vista en realidad no se ve que esto dependa de solo de verdad pero al calcularlo lo que tenemos aquí al calcular la divergencia podemos ver que en efecto no depende de la variable x sino sólo depende de de verdad es decir si nosotros nos movemos en nuestra imagen de izquierda a derecha verdad manteniendo la misma altura verdad en realidad pues no aparece que cambia la divergencia verdad no no tenemos razón para pensar que podría ser distinto digamos de aquí por ejemplo no tendríamos ninguna razón para pensar que la divergencia es distinta aquí que acá verdad pero en realidad esto no lo sabríamos si no calculamos la divergencia