Trinomios perfectos e imperfectos

sabemos que un trinomio cuadrado perfecto es un polinomio de tres términos el cual resulta de elevar al cuadrado un binomio por la atención el trinomio 20 x 25 + 4 x al cuadrado igual a 0 es un ejemplo pero como sabemos que es perfecto si el trinomio que te presentan no está ordenado como es este caso lo primero es ordenarlo esto quiere decir acomodar sus elementos de mayor a menor de acuerdo al exponente y al final el término independiente que es el que no tiene literal entonces ya ordenado nos queda 4x al cuadrado más 20 x 25 igual a 0 una vez ordenado solo tienes que fijarte muy bien que el primer y tercer término sean el cuadrado de algún número es decir que el trinomio tenga por ejemplo un 14 9 16 25 36 49 64 81 etcétera identificando esto tenemos que sacar la raíz cuadrada de cada uno de ellos las multiplicamos entre sí y el resultado que obtenemos lo multiplicamos por 2 para comprobar el término de enmedio mira la raíz cuadrada de 4x cuadrada es 2 x de 25 5 multiplicamos 2 por 5 y el resultado es 10 esto por 2 resulta 20 excelente como 20 es el doble de las dos raíces y las raíces del primer y tercer término fueron exactas tenemos un trinomio cuadrado perfecto que factor izado lo expresamos así 2x + 5 al cuadrado un tipo observa que exponente está elevada la literal del trinomio cuando son cuadrados por lo general encontrarás exponentes par como 2 468 ahora qué pasa cuando tenemos trinomios que no son cuadrados perfectos o sea trinomios imperfectos cómo lo resolvemos hagámoslo poco a poco y así te darás cuenta que es más fácil de lo que crees tenemos el siguiente trinomio x al cuadrado más 11 x 30 igual a 0 revisemos que esté ordenado primero tenemos el exponente más grande que es 2 después el exponente 1 que aunque no lo vemos s su valor y por último el término independiente listo comprendamos entonces de manera muy sencilla porque este trinomio no es perfecto como el anterior el primer término que es x al cuadrado si tiene raíces exacta la cual es equis pero el tercer término o sea el 30 no cuenta con raíces exacta ya que la raíz de 30 es 5.47 muy bien este simple hecho lo hace imperfecto una raíz exacta y la otra no sabiendo esto como lo resolvemos una forma para hacerlo es encontrar dos números que al sumarse el resultado sea 11 y al multiplicarse resulte 30 no te espantes verás que es súper sencillo escribamos en una tablita todos los factores o sea los números que pueden dividir al 30 de manera exacta lo haremos así fíjate muy bien 30 y de este lado 115 y 2 10 y 3 y por último y 5 acomodamos cada pareja para que multiplicada nos dé 30 o sea que cumpla con la primera condición y así sólo buscaremos la pareja que sumada nos dé 11 entonces 31 es 31 estamos muy lejos del once 15 23 17 no nos sirve 10 313 tampoco por ultimo 65 resulta 11 cuando ésta es la pareja que nos funciona porque 6 por 5 es igual a 36 más 5 es igual a 11 casi sin darnos cuenta hemos factor izado nuestro trinomio imperfecto sólo nos falta obtener la raíz del primer término la raíz de x al cuadrado es x muy bien así que todo esto lo expresamos de la siguiente manera x 6 x x 5 igual a 0 vemos otra forma de factorizar un trinomio imperfecto tenemos el siguiente ejemplo 3 x al cuadrado más 27 x más 60 igual a cero cuando se te presente en el primer término un coeficiente distinto a 1 es decir que haya algún número acompañando a la literal como en este caso lo primero que hay que hacer es tratar de eliminar ese número como dividiendo todos los elementos del trinomio entre ese número o sea el número que divide al primer término es el mismo que divide al segundo y al tercero veamos el 3 lo dividimos entre 3 y obtenemos x al cuadrado 27 x entre 3 el resultado es 9 x y el 60 entre 3 obtenemos 20 excelente hemos eliminado de nuestro trinomio el primer coeficiente por lo que ahora sólo tenemos que encontrar la pareja de números que sumados nos dé 9 y multiplicados nos dé 20 como en el caso anterior hacemos nuestra tablita de todos los factores 21 10 y 25 y 4 podemos notar que 5 y 4 es la pareja que nos funciona porque 5 4 es 9 y 5 por 4 obtenemos 20 perfecto como estos son los dos factores que nos funcionan los acomodamos como una multiplicación de binomios y lo expresamos así x + 5 x x 4 igual a 0 estas fueron sólo algunas maneras de resolver trinomios te invito a que descubras más