Acercamiento intuitivo al teorema de la divergencia en tres dimensiones

ya hemos explorado la versión bidimensional del teorema de la divergencia donde si teníamos una región digamos r digamos una región r de esta forma y también deberíamos tener bueno esta frontera que vamos a llamarse y déjenme ponerla con color verde esta es nuestra frontera de nuestra región y también para usar el teorema de la divergencia necesitamos un campo vectorial definido sobre todo todo el espacio ok entonces teníamos un campo vectorial donde que fuera digamos cubriendo de esta forma y como lo pinté aquí más o menos podríamos decir que su divergencia es positiva verdad el punto es que aquí tenemos un campo vectorial y lo que nos decía es que el flujo que es no es otra cosa más que tomarnos el campo vectorial y multiplicarlo hacer el producto punto con el vector normal unitario o un vector normal exterior digamos que puede ser este de aquí si este que es ortogonal a la curva frontera este es al que le llamamos vector normal y después de eso tomamos el que multiplicamos por una pequeña fracción de deere ok y aquí sumamos todo esto si lo sumamos todo esto a lo largo de nuestra curva c entonces aquí estamos definiendo el flujo del campo vectorial a lo largo a través de la frontera va a ser igual a la suma si sumamos todas todas las todas dejen en lo escribo si sumamos toda la divergencia que hay aquí adentro y después lo multiplicamos por un pedacito de área de esta región ok digamos esta es la porción de área entonces qué es lo que vamos a sumar vamos a sumar toda la divergencia de nuestro campo vectorial sobre toda la región r eso es lo que nos está dando el teorema de la divergencia y que esencialmente pudimos obtener a través del teorema de green obtuvimos eso del teorema de green entonces por ejemplo también podríamos déjenme construir otro ejemplo si tuviéramos una región aquí una nueva región r y vamos a pintar otro campo vectorial que digamos que fuera constante en todas en todo punto sale entonces tenemos un campo vectorial que es constante en todos lados entonces como pensaríamos el teorema de la divergencia bueno veamos que de este lado el flujo o la cantidad digamos como ve de masa o de materia que está saliendo a través de esta curva frontera que le voy a llamar otra vez ok entonces el flujo es positivo verdad de este lado como que la materia si está saliendo sin embargo de aquí hasta digamos por aquí la materia está entrando entonces el flujo es negativo en este caso podríamos pensar como que en realidad el flujo que hay a lo largo de toda esta curva es cero y eso tiene que ver porque la divergencia de este campo vectorial pues también es cero no por ejemplo también podríamos pensar que si tenemos esta otra región r ok no importa el chiste es que sean regiones pues digamos bonitas para fines de lo que queremos y pintamos un campo vectorial que esté digamos más que más que pensar en una divergencia de hay que pensar como en una convergencia es decir como que se está aproximando de esta forma más o menos no es que así se le llame convergencia sino a lo mejor para fines de este dibujo sería conveniente llamarle así aquí en realidad el flujo a través de ésta o a través de esta frontera es es negativo está entrando verdad y eso hará que si sumamos en la divergencia sobre el del campo vectorial a lo largo de toda esta región pues en realidad la divergencia va digamos que está apuntando hacia adentro del campo vectorial entonces su divergencia es negativa entonces todo esto coincide y en realidad coincide porque el campo vectorial con respecto al al vector normal unitario pues tienen direcciones opuestas digamos tienen forman ángulos mayores a 90 grados o pi medios en radiales ok entonces qué es lo que vamos a tratar de hacer en los próximos vídeos vamos a tratar de extender este concepto del teorema de la divergencia pero no a dos dimensiones sino a tres entonces vamos a pensar déjenme dibujarlo de esta forma vamos a pensar en una región del espacio que igual vamos a llamar r que sea una región sólida simple y digo vamos vamos a definir mejor esto en en otros vídeos pero esencialmente es que esta región como que no se doble en sí misma ajá como que no se no se auto intersecte que no tenga no tengas formas muy extrañas digamos como que que fuera como esto digamos más o menos podemos pensar que esto es como de alguna forma elíptico a jan más o menos espero se entienda que éstas son como con una especie de meridianos y de paralelos ok entonces que sea más o menos de esta forma o al menos que la la región la podemos separar en en otras en otras regiones ajenas digamos que no se auto intersectan que no se doblan en sí mismas que sean en esencia regiones sólidas y simples ok y además de esta ere vamos a tener que definir a la frontera a una frontera s que se va a ser la frontera la frontera de nuestra región r ok que es esencialmente la cáscara de esta de esta región también vamos a necesitar una un vector normal exterior bueno vamos a orientar la la región o la superficie de esta región de tal forma que nuestro vector normal sea exterior qué quiere decir eso pues que justamente apunta hacia afuera hacia fuera de la superficie ok entonces qué es lo que vamos a hacer para usar el o para deducir un teorema de la divergencia bueno esta idea que tenemos aquí detrás en dos dimensiones la vamos a llevar a tres entonces aquí si nos damos cuenta esta es la integral sobre una frontera entonces vamos a hacer la integral sobre la frontera donde la frontera es s vamos a sumar el campo vectorial o el flujo a lo largo de esta frontera es decir tenemos el campo vectorial vamos a definir un campo vectorial no se puede ser de muchas formas raras esto está definido incluso desde adentro aquí como estoy pintando otra vez pues estoy como pensando en un en que su divergencia es positiva es decir esta se está saliendo de aquí adentro estamos entonces este campo vectorial vamos a hacer el producto punto con nuestro vector normal exterior para más o menos ir midiendo en el que tanto que tanto varia varianza o que tanto se diferencian direcciones y después vamos a multiplicar por una pequeña porción de área digamos que tenemos aquí sobre la cáscara porción de área de baja y todo esto lo vamos a sumar a lo largo de nuestra frontera que es la superficie ese y esto siguiendo esta idea anterior debería ser la la suma de la divergencia pero en toda la región completa es decir vamos a tener la suma sobre toda la sobre toda la región r que esto ya es un cuerpo sólido entonces es una integral triple de la divergencia de la divergencia del campo vectorial por una pequeña porción de volumen de volumen de este verde sólido entonces vamos a pensar en este volumen sale entonces aquí vamos a sumar la divergencia y coincide más o menos la idea que teníamos en dos dimensiones con esta es decir por ejemplo aquí el campo vectorial pues más o menos apunta en dirección del vector normal exterior eso quiere decir eso querría decir que esta parte sería positiva de otra forma también la divergencia en este caso pues es positiva en efecto cumple con esa idea de hacer una divergencia de salir como que pretende salir del campo vectorial entonces esta parte de aquí esta parte de aquí es el flujo es el flujo a través a través de la frontera o de la superficie de la superficie muy bien también tenemos ese concepto acá arriba en él en el caso de en dos dimensiones porque esto de acá esto de aquí es el flujo es el flujo pero a través a través de la curva de la curva en ambos casos es la frontera y aquí del lado derecho pues estamos sumando la divergencia del campo vectorial en toda la región interior ok entonces espero esto les les dé mucha intuición de lo que el teorema de la divergencia nos dice esto espero que sea claro y que al menos haya extendido nuestro sentido común en los próximos vídeos haremos haremos ejemplos para manipular estas integrales de aquí abajo y en otro par de vídeos vamos a tratar de demostrar el teorema de la divergencia