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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4
Lección 6: Integrales dobles (artículos)Integrales dobles más allá del volumen
Las integrales dobles nos sirven para más que encontrar el volumen bajo gráficas tridimensionales. En esta lección estudiamos otros usos, establecemos una notación más general para estas y explicamos la "sensación" de usar integrales dobles.
Qué vamos a construir
- Usamos integrales dobles cada vez que tenemos el sentimiento de querer cortar una región bidimensional en un número infinito de áreas infinitesimalmente pequeñas, multiplicar cada una por algún valor y luego sumarlas.
- La notación más general para una integral doble es
donde es la región de integración. significa un "fragmento pequeño de área", que típicamente significa o , a menos que se utilice otro sistema de coordenadas. es una función de dos variables.
Ejemplo 1: masa de una placa
Imagina una placa de metal de metros de base y metros de altura. Nuestro objetivo es encontrar su masa, pero resulta que su densidad no es constante.
Para poder describir con una función esta densidad variable, comienza por situar la placa en el plano :
Donde su esquina inferior izquierda está en el origen y su base descansa a lo largo del eje .
Digamos que la densidad de esta placa, en , está dada por la función
( es una letra típica para denotar densidades bidimensionales). La densidad es igual a la masa por unidad de área, así que puede parecer extraño definirla con una función que toma puntos individuales como valores de entrada. Después de todo, ¿qué significa que un punto como tenga densidad ? Si lo prefieres, puedes interpretar esta función como la densidad dentro de una pequeña región alrededor de cada punto.
Para determinar la masa de la placa, puedes imaginar que la cortas en muchos pedacitos, cada uno un rectángulo, y luego sumas sus masas.
Piensa que la base de cada uno de estos pequeños rectángulos es , y su altura es .
Piensa en un rectángulo específico, tal vez el que contiene el punto . Puesto que este rectángulo es muy pequeño, su densidad será básicamente igual a la constante . Mientras más fino cortes la región, y más pequeños sean los rectángulos, más certero es suponer que la densidad de cada rectángulo es constante.
Esto significa que podemos calcular la masa de cada uno de estos rectángulos. Por ejemplo,
Para obtener la masa total de la placa, integramos todas estas pequeñas masas. Ya que estamos integrando sobre una región bidimensional, necesitamos una integral doble. Precaución: el orden de integración depende de si expresas el área de cada pequeño rectángulo como o como .
Pensar en áreas pequeñas
Cuando hablamos por primera vez de integrales dobles, fue en el contexto de calcular el volumen bajo una gráfica. El razonamiento fue más o menos así:
- Primero corta el volumen en un número infinito de rebanadas. Cada rebanada representa un valor constante para alguna de las variables, por ejemplo,
. - Calcula el área de cada una de las rebanadas (esto es lo que hace la integral interior).
- Al darle un poco de profundidad, haz que el volumen de cada rebanada sea infinitesimal. Matemáticamente, esto significa multiplicar el área de cada rebanada ya sea por
o por , cualquiera que represente un pequeño paso en la dirección perpendicular a la rebanada. - Integra todos esos volúmenes infinitesimales para obtener el volumen de todo el sólido (esto es lo que hace la integral exterior).
Por el contrario, el ejemplo de la sección anterior para encontrar la masa de la placa se ve y se siente distinto. Comenzamos por pensar en áreas pequeñas, luego multiplicamos cada una por una constante (la densidad) e intentamos sumarlas todas en una sola pasada.
Por supuesto, ambas perspectivas son equivalentes. Y cuando llegamos a las cuentas, nada es diferente. Siempre acabas con una integral dentro de otra, calculas la integral interior y luego la exterior.
Sin embargo, en términos de visualización y comprensión conceptual, construir una integral en términos de áreas pequeñas es distinto de construirla en términos de una integral dentro de otra. Por ejemplo, si piensas en calcular el volumen bajo una gráfica al partir primero tu región en el plano en áreas pequeñas, puedes imaginar que sumas todos los volúmenes de las pequeñas alturas sobre estas áreas.
Notación general para las integrales dobles
Cuando pensamos en una integral doble en términos de áreas pequeñas, es común escribirla de forma abstracta así:
Cuando llega el momento de calcular la integral, reemplazamos con un par de integrales ordinarias cuyos límites de integración definen la región. Si es un rectángulo, estos límites son constantes:
De forma más general, cuando está definida en términos de algunas curvas en el plano , los límites de la integral interior se expresan como funciones de la variable exterior:
(Revisa el artículo anterior para practicar esta idea).
Normalmente, imaginarás que cortas la región en pequeñas piezas, y este término representa el área de una de esas piezas. Una vez que te pongas a calcular la integral doble, lo reemplazaras por , o . En otros sistemas coordenados, hay diferentes maneras de seccionar , pero eso lo veremos en el siguiente artículo.
Esperemos que puedas expresar esta cantidad pequeña como algo más que el área de tu pequeña pieza. Por ejemplo, la masa de una pieza es su densidad por su área; y el volumen de una columna sobre una pieza es la altura de la columna por el área.
En estos ejemplos, representa la densidad o la altura. En general, es la cantidad que debe multiplicarese por el área de un pedacito, y habitualmente depende de la posición en el pedacito, expresada en términos de las coordenadas .
"¿Qué pasa si no puedo expresar el pequeño valor que quiero sumar como algo multiplicado por ?"
Bueno, en este caso, las integrales dobles no son la herramienta adecuada. Aunque por ahora no podamos pensar en ejemplos donde esto ocurra...
La notación abstracta tiene dos beneficios:
- Simplicidad: cuando comienzas a plantear un problema, o si quieres hacer una referencia rápida a la idea de cierta integral doble sin ahondar en los detalles, es bueno ser capaz de escribir algo. También, expresamos muchos de los teoremas y las herramientas que surgen en el cálculo multivariable de forma abstracta con esta notación.
- Generalidad: escribir tu integral como
te da opciones para calcularla. Por ejemplo, en el siguiente artículo, estudiaremos las integrales dobles en coordenadas polares, en donde la forma en que desarrollas y la forma en que escribes los límites de integración son distintas que en coordenadas cartesianas.
Ejemplo 2: centro de masa
¿Cuál es el centro de masa de un semidisco?
Por simplicidad, digamos que el radio del disco es , y orientémoslo de tal forma que su diámetro repose a lo largo del eje . También, supongamos que la densidad del disco es uniforme.
Este es un problema muy interesante, ¿no crees? Podrás adivinar que la respuesta es un punto un poco a la izquierda del , pero no es obvio cuál es el punto exacto, ¿o sí?
Por la simetría vertical de este semidisco, puedes saber que el centro de masa se localizará sobre el eje . En cierto sentido, lo que buscamos el el valor promedio en la coordenada de los puntos en el disco.
Resumen
Usamos integrales dobles cada vez que tenemos el sentimiento de querer cortar una región bidimensional en un número infinito de áreas infinitesimalmente pequeñas, multiplicar cada una por algún valor y luego sumarlas.
La notación más general para una integral doble es
donde
donde
es la región de integración. significa un "fragmento pequeño de área", que típicamente significa o , a menos que se utilice otro sistema de coordenadas. es una función de dos variables.
De aquí en adelante, las integrales dobles estarán inextricablemente atadas a la mayoría de los temas del cálculo multivariable. Y en la mayoría de los casos, es de utilidad pensar en lo que pasa dentro de cada "pequeña área" de la región dada, en vez de pensar en integrar primero sobre una recta y después en la dirección perpendicular.
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- La verdad no entendí por que la expresión del centro de masa te devuelve justamente la coordenada del centro de masa. Osea en el sentido físico, lo de como calcular el area si me quedo claro. Me suena a que es la altura promedio pero no estoy seguro.(1 voto)