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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 2

Lección 8: Derivar funciones con valores vectoriales (artículos)

Las derivadas parciales de superficies parametrizadas

Si tienes una función que representa una superficie en tres dimensiones, puedes calcular su derivada parcial. Aquí estudiamos cómo se ve eso y cómo se interpreta.

Antecedentes

Qué vamos a construir

Tenemos una función vectorial con un valor de entrada de dos dimensiones y un valor de salida de tres dimensiones:
$\vec{v} (s, t) = [\begin{matrix} x (s, t) \\ y (s, t) \\ z (s, t) \end{matrix}]$ ‍
Sus derivadas parciales se calculan tomando la derivada parcial de cada componente:

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (s, t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial t} (s, t) \\ \frac{\partial y}{\partial t} (s, t) \\ \frac{\partial z}{\partial t} (s, t) \end{array}] \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (s, t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial s} (s, t) \\ \frac{\partial y}{\partial s} (s, t) \\ \frac{\partial z}{\partial s} (s, t) \end{array}] \end{aligned}

Puedes interpretar estas derivadas parciales como operaciones que dan por resultado vectores tangentes a la superficie parametrizada definida por $\vec{v}$ ‍.

La meta

Supongamos que tenemos una función que tuviera una entrada de dos dimensiones y una salida de tres dimensiones, como esta:

$\vec{v} (t, s) = [\begin{matrix} 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 3 \sin (t) + \sin (t) \cos (s) \\ \sin (s) \end{matrix}]$ ‍

Puesto que la entrada de la función es multidimensional, no puedes tomar la derivada ordinaria, pero puedes tomar la derivada parcial. El enfoque de este artículo es conseguir una buena intuición de lo que significan las derivadas parciales.

Interpreta la función como una superficie

La función por sí misma tiene un significado geométrico muy bonito. Puesto que tiene una entrada de dos coordenadas y una salida de tres, podemos visualizarla como una superficie paramétrizada.

En específico, considera todas las entradas

(t, s)

tal que

0 \leq t \leq 2 π

0 \leq s \leq 2 π

. Esto representa un cuadrado en el plano "

t s

". Vamos a visualizar este cuadrado como un tablero de ajedrez, pues esto hará el seguimiento de esta sección más amable.

Para cualquier punto

(t, s)

\vec{v} (t, s)

es un punto en el espacio tridimensional.

Verificación de conceptos: evalúa

\vec{v} (π, π)

. En otras palabras, ¿a dónde manda

\vec{v}

al punto

(t, s) = (π, π)

Si imaginas que haces este cálculo para todas las entradas

(t, s)

en el cuadrado, para obtener, cada vez, un punto en el espacio tridimensional, todos los valores de salida resultantes formarán una superficie de dos dimensiones en un espacio tridimensional. Está buenísimo imaginar que cada punto del tablero de ajedrez se acomoda en su lugar apropiado en el espacio.

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¡El resultado es una dona! Los matemáticos le llaman "toro".

Interpretar las derivadas parciales

Derivar con respecto a $t$ ‍

Para calcular la derivada parcial de la función

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}

, debes tomar la derivada parcial de cada componente.

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) & = \frac{\partial}{\partial t} [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 3 \sin (t) + \sin (t) \cos (s) \\ \sin (s) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial t} (3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s)) \\ \frac{\partial}{\partial t} (3 \sin (t) + \sin (t) \cos (s)) \\ \frac{\partial}{\partial t} (\sin (s)) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} - 3 \sin (t) - \sin (t) \cos (s) \\ 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 0 \end{array}] \end{aligned}

Así que... ¿qué significa esta nueva función vectorial?

Bueno, calcular esta derivada parcial requiere tratar a la variable

s

como si fuese una constante. ¿Qué significa esto geométricamente?

En el plano

t s

, un valor constante de

s

corresponde a una recta horizontal. Aquí se muestra una de esas rectas, para el valor

s = π / 2

, dibujada en rojo:

Cuando el cuadrado se transforma en el toro, la recta roja se transforma en un circulo que recorre la parte más ancha de éste.

La derivada parcial

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}

nos dice cómo la salida cambia cuando damos un pequeño empujón a la entrada en la dirección

t

. En este caso, el vector que representa ese empujón (que dibujamos en amarillo en la figura de abajo) se transforma en un vector tangente al círculo rojo que representa a un valor constante de

s

en la superficie:

Específicamente, el punto de entrada que usamos para las imágenes de arriba es

(t_{0}, s_{0}) = (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})

. Entonces, el punto sobre el toro es

\begin{aligned} \vec{v} (\frac{π}{4}, \frac{π}{2}) & = [\begin{array}{c} 3 \cos (π / 4) + \cos (π / 4) \cos (π / 2) \\ 3 \sin (π / 4) + \sin (π / 4) \cos (π / 2) \\ \sin (π / 2) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ 1 \end{array}] \end{aligned}

Y el vector tangente es

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (\frac{π}{4}, \frac{π}{2}) & = [\begin{array}{c} - 3 \sin (π / 4) - \sin (π / 4) \cos (π / 2) \\ 3 \cos (π / 4) + \cos (π / 4) \cos (π / 2) \\ 0 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 0 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{array}] \end{aligned}

Verificación de conceptos: ¿por qué tiene sentido que la componente

z

de este vector tangente sea

0

Derivar con respecto a $s$ ‍

La derivada parcial con respecto a

s

es semejante. La calculas tomando la derivada parcial de cada componente de

\vec{v}

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) = \frac{\partial}{\partial s} & [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 3 \sin (t) + \sin (t) \cos (s) \\ \sin (s) \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} - \cos (t) \sin (s) \\ - \sin (t) \sin (s) \\ \cos (s) \end{array}] \end{aligned}

En esta ocasión, podemos imaginar que mantenemos

t

constante y obtenemos una recta vertical en el espacio de parámetros.

La flecha amarilla representa el vector de velocidad de una partícula que viaja sobre esta recta; es decir, conforme varía

s

mientras

t

se mantiene constante. Después de que el cuadrado se transforma en el toro por medio de la función

\vec{v}

, la recta roja y el vector de velocidad amarillo se ven como:

Podemos interpretar la derivada parcial

\frac{\partial \vec{v}}{\partial s}

como este vector de velocidad en el toro.

Resumen

Tenemos una función vectorial con un valor de entrada de dos dimensiones y un valor de salida de tres dimensiones:
$\vec{v} (s, t) = [\begin{matrix} x (s, t) \\ y (s, t) \\ z (s, t) \end{matrix}]$ ‍
Sus derivadas parciales se calculan tomando la derivada parcial de cada componente:

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (s, t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial t} (s, t) \\ \frac{\partial y}{\partial t} (s, t) \\ \frac{\partial z}{\partial t} (s, t) \end{array}] \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (s, t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial s} (s, t) \\ \frac{\partial y}{\partial s} (s, t) \\ \frac{\partial z}{\partial s} (s, t) \end{array}] \end{aligned}

Puedes interpretar estas derivadas parciales como operaciones que dan por resultado vectores tangentes a la superficie parametrizada definida por $\vec{v}$ ‍.
Por ejemplo, imagina que empujas un punto en el espacio de entradas en la dirección $t$ ‍, digamos de las coordenadas $(s, t)$ ‍ a las coordenadas $(s, t + h)$ ‍ para algún valor pequeño de $h$ ‍. Esto da por resultado un pequeño empujón en el valor de salida sobre la superficie, que está representada por el vector $h \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (s, t)$ ‍.

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maycol.medina
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “No acabo de entender por ...” de maycol.medina
No acabo de entender por qué el vector debe ser tangente a la superficie, ¿puede alguien explicarme eso?
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