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Transcripción para The fundamental theorem of calculus and definite integrals

  • 0:00supongamos que tenemos la función efe y
  • 0:04que esta función es continua en el
  • 0:06intervalo de ahorita no le voy a poner a
  • 0:09y b porque esos los quiero utilizar más
  • 0:11adelante pero bueno a partir de esta
  • 0:13función efe minúscula dt vamos a
  • 0:15construir la función f mayúscula de x
  • 0:17igual a la integral a la integral que va
  • 0:21de c a x df minúscula de t dt muy bien
  • 0:26estas acá es un área verdad esto lo
  • 0:28estamos definiendo para las x es en el
  • 0:30intervalo se coma d así que si nos
  • 0:32tomamos una x por acá
  • 0:34esta función lo que nos indica es el
  • 0:37área que está por debajo de la curva que
  • 0:39está por debajo de la curva y en 13 y x
  • 0:43entonces esto sería f mayúscula de x
  • 0:46lo que platicamos en vídeos pasados es
  • 0:49que si efe minúscula es continua
  • 0:51entonces esta f mayúscula es derivable
  • 0:54en todo el intervalo se coma b y además
  • 0:57tenemos que f prima de x es igual a efe
  • 1:02de x vaya que esto sucede para todas las
  • 1:06x es en el intervalo se coma de muy bien
  • 1:09esto simplemente es el teorema
  • 1:11fundamental del cálculo lo que quiero
  • 1:13hacer en este vídeo es conectar el
  • 1:14primer teorema fundamental del cálculo
  • 1:16con el segundo teorema fundamental igual
  • 1:18del cálculo bueno la segunda parte como
  • 1:21quieras llamarle esto es lo que
  • 1:23utilizamos para evaluar las integrales
  • 1:25definidas va entonces para pensar en
  • 1:27esto vamos a tomar f mayúscula debe
  • 1:31menos f mayúscula de a efe mayúscula
  • 1:35para ciertos números ahí ve que quedan
  • 1:37en este intervalo en el intervalo se
  • 1:39coma d además vamos a pensar que b es
  • 1:42más grande que a por comodidad sale
  • 1:44entonces al cambiar estas f mayúsculas
  • 1:47por lo que le corresponde en la integral
  • 1:49obtenemos la integral la integral de s
  • 1:52ab nada más sustituimos de c a b de ft
  • 1:57dt - la dfa pero que se está vamos
  • 2:01primero con esta pues esta es nos vamos
  • 2:03aquí a donde estaba digamos que está por
  • 2:05aquí
  • 2:06ahí tomamos la recta vertical y lo que
  • 2:10estamos considerando es el área por
  • 2:11debajo de la curva entonces estamos
  • 2:13considerando esta parte de la casa le
  • 2:15déjame marcarla
  • 2:18en este color azul ok entonces esta
  • 2:22integral corresponde a esta área ya eso
  • 2:24tenemos que restarle tenemos que
  • 2:26restarle f mayúscula de a osea la
  • 2:29integral de c aa de ft dt y si nos vamos
  • 2:35a la figura dijimos que a es más pequeño
  • 2:38digamos que está por acá y entonces el
  • 2:40área que estamos restando es esta
  • 2:43muy bien entonces qué sucede si el área
  • 2:46azul que es la de b le restamos el área
  • 2:49rosa mexicano que es la dea pues
  • 2:52obtenemos esta área que queda en medio
  • 2:54verdad esta que voy a pintar con color
  • 2:55verde un color verde
  • 2:59y que está representada por la integral
  • 3:02de a a b de ft
  • 3:06dt muy bien esto de aquí está muy bueno
  • 3:10verdad esto es el segundo teorema
  • 3:12fundamental del cálculo lo que nos dice
  • 3:14lo siguiente lo que nos dice es que si f
  • 3:17es continua si f es continua entonces
  • 3:19esta expresión esta expresión esta
  • 3:22integral definida la podemos evaluar
  • 3:25tomando la anti derivada f mayúscula
  • 3:28quizás debería ser un poco más claro
  • 3:30verdad sea mira esta igualdad nos está
  • 3:33diciendo que f mayúscula es la anti
  • 3:36derivada
  • 3:38anti derivada
  • 3:42de f de ok entonces lo que nos dice el
  • 3:47segundo teorema fundamental del cálculo
  • 3:49es que esta expresión que encerré en el
  • 3:52recuadro
  • 3:53esta integral definida la podemos
  • 3:56evaluar considerando a efe mayúscula una
  • 3:59anti derivada de f y evaluando en el
  • 4:02extremo superior y a eso
  • 4:04restándole el extremo inferior va a efe
  • 4:07en el extremo inferior justo eso es lo
  • 4:10que nos dice el segundo teorema
  • 4:11fundamental del cálculo y eso es lo que
  • 4:13utilizamos para hacer las integrales
  • 4:15definidas verdad quizás aquí quedó al
  • 4:17revés es más déjame reescribirlo para
  • 4:20que quede en la forma en la que
  • 4:21usualmente lo utilizamos entonces nos
  • 4:24quedaría que la integral de a a b de ft
  • 4:28de t para una función continua efe
  • 4:31consiste en tomar una derivada f
  • 4:34mayúscula evaluarla en el extremo
  • 4:36superior y a eso restarle esa anti
  • 4:39derivada evaluada en el extremo inferior
  • 4:42ok
  • 4:43este es el segundo teorema fundamental
  • 4:45del cálculo y este teorema es
  • 4:48importantísimo en las clases de cálculo
  • 4:50porque justo a partir de esto es como
  • 4:52evaluamos todas nuestras integrales
  • 4:54definidas