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Transcripción para Special right triangles proof (part 1)

  • 0:00en este vídeo voy a hablar sobre una
  • 0:02clase especial del triángulo llamada
  • 0:04triángulo 30 60 90 y se llama así porque
  • 0:07eso miden sus ángulos entonces bueno lo
  • 0:10que yo voy a probar en este vídeo es un
  • 0:12resultado bastante útil para geometría
  • 0:14trigonometría etcétera y entonces bueno
  • 0:17lo que veremos son las razones de los
  • 0:19lados de un triángulo de 30 60 90 que si
  • 0:23la hipotenusa de este triángulo tiene
  • 0:24longitud x recuerda que la hipotenusa es
  • 0:27el lado opuesto al al ángulo de 90
  • 0:30grados entonces si la hipotenusa tiene
  • 0:32longitud x lo que probaremos es que el
  • 0:34lado más corto es decir el ángulo
  • 0:36opuesto al ángulo de 30 grados tiene
  • 0:38longitud de x sobre 2 y que el lado
  • 0:42opuesto al ángulo de 60 grados el lado
  • 0:44opuesto al ángulo de 60 grados estudia
  • 0:46kahn tendrá longitud de raíz de 3 por la
  • 0:50longitud del lado opuesto al ángulo más
  • 0:52corto es decir raíz de 3 por x sobre 2 y
  • 0:56esto será su longitud entonces eso vamos
  • 0:58a probar en este vídeo así que iniciemos
  • 1:01con un triángulo
  • 1:04dibujo yo un triángulo que nos es muy
  • 1:06familiar
  • 1:07voy a dibujar un triángulo equilátero
  • 1:09que no es muy fácil de dibujar pero
  • 1:12supongamos que lo estoy haciendo es mi
  • 1:16mejor intento de dibujar un triángulo
  • 1:18equilátero con vértices a b y c y bueno
  • 1:22entonces tenemos el triángulo abc
  • 1:26y recordemos que si es y hillá pero
  • 1:28entonces sus lados son iguales digamos
  • 1:30que es un equilátero con lados de
  • 1:33longitud x equilátero con lados de
  • 1:36longitud x es decir que si un lado vale
  • 1:40x si este lado vale x entonces también
  • 1:43este vale x y también este vale x
  • 1:45sabemos basado en lo que en x por lo que
  • 1:48sabemos de triángulos equiláteros
  • 1:49entonces la medida de sus ángulos
  • 1:51internos son iguales cierto entonces son
  • 1:54de 60 60 éste mide 60 y también éste
  • 1:58mide 60 porque 60 más 60 más 60 son 180
  • 2:02y bueno lo que voy a hacer a
  • 2:04continuación es dejar caer una altitud
  • 2:06desde este punto desde el vértice b
  • 2:09entonces bueno por definición una
  • 2:12altitud intersecta la base del triángulo
  • 2:14formando un ángulo recto tenemos aquí
  • 2:16ángulos rectos y esto es una prueba
  • 2:18bastante rápida mostrar que no solamente
  • 2:21es una altitud sino que este ángulo
  • 2:24recto también visita a la base de hecho
  • 2:27puedes poner pausa al vídeo y probarlo
  • 2:29tú mismo esto va a visitar la base es
  • 2:31decir que va a dividir al segmento
  • 2:33base en dos partes iguales entonces
  • 2:34vamos a llamar este punto de y tenemos
  • 2:37que el triángulo ave de y el triángulo
  • 2:39obedece ambos comparten este lado el
  • 2:42lado verde es común a ambos triángulos y
  • 2:45también todos los ángulos rectos son
  • 2:47iguales es uno de los postulados de
  • 2:49euclides por lo tanto estos dos ángulos
  • 2:51son iguales y entonces este ángulo es
  • 2:54igual a este ángulo de aquí tenemos que
  • 2:56si estos dos pares de ángulos son
  • 2:58iguales entonces estos ángulos de arriba
  • 3:01también son iguales entonces bueno lo
  • 3:03voy a marcar esto este ángulo es igual a
  • 3:06éste y ahora podemos usar una de
  • 3:09nuestras variedades de criterios de
  • 3:11congruencia tenemos podríamos usar el
  • 3:13lado ángulo lado el lado ángulo lado no
  • 3:17sé si lo recuerdas o podríamos usar el
  • 3:19criterio de ángulo lado ángulo
  • 3:21cualquiera de los dos funcionan y con
  • 3:23eso eso demuestra que el triángulo abed
  • 3:28es congruente al triángulo
  • 3:34de bebé y esto es de bastante utilidad
  • 3:36porque bueno como lo dije antes podemos
  • 3:38usar cualquiera de los dos criterios el
  • 3:40de ángulo lado ángulo o el de lado
  • 3:43ángulo lado el que más a ti te guste y
  • 3:45nos sirven porque con esto demostramos
  • 3:47que los datos correspondientes serán
  • 3:49iguales en particular la longitud del
  • 3:52lado además será igual a la longitud de
  • 3:55la 12da entonces a d es igual a cd y
  • 4:00estos son lados correspondientes
  • 4:02ahora si sabemos que son iguales en
  • 4:04longitud recordemos que este es un
  • 4:06triángulo equilátero de lado x entonces
  • 4:08cada uno de estos lados vale x sobre 2
  • 4:10este es también x sobre 2 y no solamente
  • 4:13sabemos eso también trazamos una altitud
  • 4:16mostramos que este ángulo debe ser
  • 4:18congruente a este otro ángulo y deben
  • 4:19sumar 60 si dos ángulos son iguales si
  • 4:22suman 60 entonces cada uno debe valer 30
  • 4:25cierto 30 y 30 y ahora bueno ya
  • 4:28demostramos una de las partes
  • 4:29interesantes de los triángulos 30 60 90
  • 4:32nótese que dejando caer esta altitud
  • 4:35esencialmente estoy partiendo al
  • 4:37triángulo equilátero en 2
  • 4:39ángulos de 30 60 90 y ya demostramos que
  • 4:42si el lado opuesto al ángulo recto mide
  • 4:45x entonces el lado opuesto al ángulo de
  • 4:4830 grados ese va a valer x sobre 2 y
  • 4:53bueno eso lo demostramos ahí arriba
  • 4:54ahora sólo falta demostrar cuánto vamos
  • 4:57a ver cuánto mide el tercer lado el lado
  • 5:00que está opuesto al ángulo de 60 grados
  • 5:02y llamemos a esta longitud bueno ya como
  • 5:06ya tenemos aquí las letras vader
  • 5:08entonces vamos a llamar a esa longitud
  • 5:09bbm y usaremos el teorema de pitágoras
  • 5:12así que bueno vamos a tener que verde al
  • 5:15cuadrado más x sobre 2 al cuadrado será
  • 5:17igual a la hipotenusa al cuadrado
  • 5:19entonces lo escribo acá tenemos que ver
  • 5:22al cuadrado más este lado al con x sobre
  • 5:272 al cuadrado será igual a la hipotenusa
  • 5:31al cuadrado así que esto será igual a x
  • 5:34al cuadrado y sólo para dejar en claro
  • 5:36estoy observando este triángulo de aquí
  • 5:39donde este lado al cuadrado más este
  • 5:41lado al cuadrado será igual a la
  • 5:43hipotenusa al cuadrado
  • 5:45ahora que con esto hay que ver cuánto
  • 5:46vale vd así que desarrollamos verde al
  • 5:49cuadrado más x al cuadrado sobre 4 es
  • 5:54igual a x al cuadrado puedes visualizar
  • 5:56esto como 4 x al cuadrado sobre 4 es lo
  • 5:59mismo que x al cuadrado y si restamos un
  • 6:03cuarto x al cuadrado de ambos lados
  • 6:05obtenemos verde al cuadrado será igual a
  • 6:074 x al cuadrado sobre 4 - x al cuadrado
  • 6:10sobre 4 eso será igual a que a 3 x al
  • 6:14cuadrado sobre 4 cierto así que esto es
  • 6:17igual a 3 x al cuadrado sobre 4 ahora
  • 6:21tomamos la raíz cuadrada de ambos lados
  • 6:23de la ecuación y obtenemos que bb es
  • 6:25igual a la raíz de 3 x x raíz de 3 x
  • 6:30raíz de x al cuadrado que es x entonces
  • 6:32x x sobre la raíz de 4 lo cuales dos ya
  • 6:37sabemos que es 2 entonces todo esto
  • 6:39sobre 2 y bb es el lado opuesto al
  • 6:42ángulo de 60 grados así que ya
  • 6:43terminamos encontramos que queríamos
  • 6:45entonces si la hipotenusa vale x el lado
  • 6:48opuesto al ángulo de 30 grados será de x
  • 6:50sobre 2
  • 6:51opuesto hablando de 60 grados será igual
  • 6:53a raíz de 3 sobre 2 por equis y
  • 6:57terminamos