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Transcripción para Basic derivative rules (Part 2)

  • 0:00en el último vídeo vimos esta propiedad
  • 0:03que nos dice que si una función es
  • 0:05constante entonces su derivada es igual
  • 0:08a cero y vimos para acá una explicación
  • 0:10gráfica de por qué sucede esto y también
  • 0:14utilizamos las definiciones de derivada
  • 0:16para estar completamente seguros de que
  • 0:19esta propiedad es cierta y ahora lo que
  • 0:22vamos a hacer es ver más de estas
  • 0:25propiedades y estas propiedades que
  • 0:27estamos viendo son propiedades básicas
  • 0:29que vas a utilizar a lo largo de tu
  • 0:32carrera a lo largo de tu vida siempre
  • 0:34que estés utilizando cálculo vas a
  • 0:36utilizar constantemente estas
  • 0:38propiedades para encontrar derivadas así
  • 0:41es que es bastante importante conocerlas
  • 0:44y estar seguros de que si son ciertas
  • 0:47estas propiedades pero bueno la segunda
  • 0:50propiedad nos dice que si una función f
  • 0:53x es igual a una constante por otra
  • 0:58función g de x entonces
  • 1:02la derivada de la función f x es igual a
  • 1:06k la constante por la derivada de la
  • 1:10función g podemos explicar de forma
  • 1:13gráfica por qué sucede esto aquí esta
  • 1:16constante que está multiplicando a la
  • 1:18función g está modificando la pendiente
  • 1:21de las rectas tangentes pero
  • 1:23honestamente es mucho más fácil hacer un
  • 1:26argumento algebraico y para eso podemos
  • 1:29utilizar cualquiera de estas dos
  • 1:31definiciones de derivada
  • 1:33yo voy a utilizar esta definición por
  • 1:35acá con la equis porque me parece que se
  • 1:39siente más general es cierto por acá
  • 1:42podemos decir oye esta puede ser
  • 1:44cualquier valor y entonces podemos
  • 1:47argumentar que esta definición es igual
  • 1:50de general que ésta pero por el momento
  • 1:52me siento más cómoda utilizando esta
  • 1:54definición entonces si queremos
  • 1:56encontrar f prima de x utilizando esta
  • 2:01definición nosotros
  • 2:05que la derivada de f es igual al límite
  • 2:09cuando h tiende a cero de f de x más h -
  • 2:15efe de x / h
  • 2:19pero a ver en este ejemplo cuánto es fx
  • 2:23más h todo esto es igual al límite
  • 2:27cuando h tiende a cero df de x + h y eso
  • 2:32es que porque de x + h y luego tenemos
  • 2:38que restar efe de x pero efe de x es k
  • 2:43porque de x y estamos dividiendo esto
  • 2:47entre h ahora por aquí podemos
  • 2:50factorizar está acá y nos queda el
  • 2:53límite cuando h tiende a cero de acá
  • 2:58por g de x + h - gx / h aquí lo único
  • 3:07que hicimos fue factorizar esta
  • 3:09constante k ahora por las propiedades de
  • 3:12los límites nosotros sabemos que esto es
  • 3:14igual a la constante k
  • 3:18límite cuando h tiende a 0 de g de x + h
  • 3:24menos g de x / h y por supuesto todo
  • 3:31esto que tenemos aquí es simplemente que
  • 3:34prima de x así es que esto es igual acá
  • 3:38porque prima de x y ahí tengo una idea
  • 3:43de algo que podrías estar pensando en
  • 3:46estos momentos tú podrías haber dicho
  • 3:48oye esto parece como que sí es cierto
  • 3:52así es que simplemente supongamos que es
  • 3:55cierto pero uno no puede ir por la vida
  • 3:57suponiendo este tipo de cosas así nada
  • 3:59más es cierto una vez que empiezas a
  • 4:02pensar en esto parece algo muy natural
  • 4:04pero en las matemáticas no podemos
  • 4:07simplemente suponer que las cosas son
  • 4:09ciertas porque nos parece razonable que
  • 4:12sean ciertas nosotros tenemos que
  • 4:15demostrar que si son ciertas tenemos que
  • 4:17estar seguros de otra forma podemos
  • 4:20terminar construyendo uno
  • 4:22donde cosas y sacando muchas
  • 4:24conclusiones basándonos en fundamentos
  • 4:27que no son sólidos pero esto que hicimos
  • 4:31aquí nos asegura que esto sí es cierto y
  • 4:35que lo podemos utilizar sin correr el
  • 4:37riesgo de llegar a alguna contradicción
  • 4:39así es que es bueno hacer todo esto
  • 4:42aunque parezca que estamos haciendo
  • 4:45mucho trabajo para llegar a una
  • 4:46conclusión que ya nos parecía bastante
  • 4:48razonable pero bueno ahora vamos a ver
  • 4:51la tercera propiedad la tercera
  • 4:54propiedad nos dice que si una función fx
  • 4:57es igual a la suma de otras dos
  • 5:00funciones por ejemplo g de x
  • 5:05j de x entonces f prima de x es igual a
  • 5:13g prima de x más j prima de x y bueno
  • 5:20esto también es cierto si aquí en lugar
  • 5:22de tener un + tenemos un menos si en
  • 5:25lugar de que éstas sean sumas son restas
  • 5:27si tienes la suma o resta de dos
  • 5:31funciones la derivada va a ser la suma o
  • 5:34resta de las derivadas de esas dos
  • 5:37funciones y otra vez para asegurarnos de
  • 5:40que esto es cierto podemos recurrir a la
  • 5:42definición del límite f prima de x es
  • 5:46igual al límite cuando h tiende a 0 de
  • 5:51fx + h pero cuánto sf x + h bueno pues
  • 5:56es
  • 5:57dx más h más j de x más h bueno y todo
  • 6:04esto es simplemente efe de x + h
  • 6:08todavía nos falta a restar fx y fx
  • 6:14tx más jota de equis porque ya que
  • 6:20tenemos
  • 6:20efe dx más h y aquí tenemos fx y
  • 6:25queremos dividir todo esto entre h y
  • 6:30aquí podemos reacomodar estos términos y
  • 6:32nos queda como el límite cuando h tiende
  • 6:36a cero deje de x más h - g de x más j de
  • 6:45x más h - j de x / h pero esto también
  • 6:54lo podemos poner de esta otra forma como
  • 6:57estos dos términos entre h más estos
  • 7:01otros dos términos entre h y estas dos
  • 7:05formas son exactamente iguales ahora
  • 7:08esto que tenemos aquí nosotros sabemos
  • 7:11por las propiedades de los límites que
  • 7:14esto es igual al límite cuando h tiende
  • 7:18a cero deje de x más h - g de x / h más
  • 7:28límite cuando h tiende a 0 de j de x + h
  • 7:34- j de x / h ahora esto que tenemos aquí
  • 7:41es la definición de g prima de x y esto
  • 7:46que tenemos por acá es la definición de
  • 7:49j prima de x y listo ya terminamos la
  • 7:54derivada de una suma de funciones es la
  • 7:57suma de las derivadas ahora si en lugar
  • 8:00de estar sumando estuviéramos restando
  • 8:03por aquí tendríamos un signo menos eso
  • 8:06se pasaría por acá y aquí tendríamos una
  • 8:09resta y entonces estas derivadas
  • 8:12estarían restando pero bueno espero que
  • 8:15todo esto haya hecho que te sientas muy
  • 8:17seguro de que estas propiedades son
  • 8:19ciertas
  • 8:21sí es cierto tal vez podríamos haber
  • 8:23adivinado que son ciertas estas
  • 8:26propiedades pero es muy bueno utilizar
  • 8:28las definiciones de derivada para estar
  • 8:31completamente seguros de que en efecto
  • 8:35estas propiedades son verdaderas