Transcripción para Basic derivative rules (Part 2)
- 0:00en el último vídeo vimos esta propiedad
- 0:03que nos dice que si una función es
- 0:05constante entonces su derivada es igual
- 0:08a cero y vimos para acá una explicación
- 0:10gráfica de por qué sucede esto y también
- 0:14utilizamos las definiciones de derivada
- 0:16para estar completamente seguros de que
- 0:19esta propiedad es cierta y ahora lo que
- 0:22vamos a hacer es ver más de estas
- 0:25propiedades y estas propiedades que
- 0:27estamos viendo son propiedades básicas
- 0:29que vas a utilizar a lo largo de tu
- 0:32carrera a lo largo de tu vida siempre
- 0:34que estés utilizando cálculo vas a
- 0:36utilizar constantemente estas
- 0:38propiedades para encontrar derivadas así
- 0:41es que es bastante importante conocerlas
- 0:44y estar seguros de que si son ciertas
- 0:47estas propiedades pero bueno la segunda
- 0:50propiedad nos dice que si una función f
- 0:53x es igual a una constante por otra
- 0:58función g de x entonces
- 1:02la derivada de la función f x es igual a
- 1:06k la constante por la derivada de la
- 1:10función g podemos explicar de forma
- 1:13gráfica por qué sucede esto aquí esta
- 1:16constante que está multiplicando a la
- 1:18función g está modificando la pendiente
- 1:21de las rectas tangentes pero
- 1:23honestamente es mucho más fácil hacer un
- 1:26argumento algebraico y para eso podemos
- 1:29utilizar cualquiera de estas dos
- 1:31definiciones de derivada
- 1:33yo voy a utilizar esta definición por
- 1:35acá con la equis porque me parece que se
- 1:39siente más general es cierto por acá
- 1:42podemos decir oye esta puede ser
- 1:44cualquier valor y entonces podemos
- 1:47argumentar que esta definición es igual
- 1:50de general que ésta pero por el momento
- 1:52me siento más cómoda utilizando esta
- 1:54definición entonces si queremos
- 1:56encontrar f prima de x utilizando esta
- 2:01definición nosotros
- 2:05que la derivada de f es igual al límite
- 2:09cuando h tiende a cero de f de x más h -
- 2:15efe de x / h
- 2:19pero a ver en este ejemplo cuánto es fx
- 2:23más h todo esto es igual al límite
- 2:27cuando h tiende a cero df de x + h y eso
- 2:32es que porque de x + h y luego tenemos
- 2:38que restar efe de x pero efe de x es k
- 2:43porque de x y estamos dividiendo esto
- 2:47entre h ahora por aquí podemos
- 2:50factorizar está acá y nos queda el
- 2:53límite cuando h tiende a cero de acá
- 2:58por g de x + h - gx / h aquí lo único
- 3:07que hicimos fue factorizar esta
- 3:09constante k ahora por las propiedades de
- 3:12los límites nosotros sabemos que esto es
- 3:14igual a la constante k
- 3:18límite cuando h tiende a 0 de g de x + h
- 3:24menos g de x / h y por supuesto todo
- 3:31esto que tenemos aquí es simplemente que
- 3:34prima de x así es que esto es igual acá
- 3:38porque prima de x y ahí tengo una idea
- 3:43de algo que podrías estar pensando en
- 3:46estos momentos tú podrías haber dicho
- 3:48oye esto parece como que sí es cierto
- 3:52así es que simplemente supongamos que es
- 3:55cierto pero uno no puede ir por la vida
- 3:57suponiendo este tipo de cosas así nada
- 3:59más es cierto una vez que empiezas a
- 4:02pensar en esto parece algo muy natural
- 4:04pero en las matemáticas no podemos
- 4:07simplemente suponer que las cosas son
- 4:09ciertas porque nos parece razonable que
- 4:12sean ciertas nosotros tenemos que
- 4:15demostrar que si son ciertas tenemos que
- 4:17estar seguros de otra forma podemos
- 4:20terminar construyendo uno
- 4:22donde cosas y sacando muchas
- 4:24conclusiones basándonos en fundamentos
- 4:27que no son sólidos pero esto que hicimos
- 4:31aquí nos asegura que esto sí es cierto y
- 4:35que lo podemos utilizar sin correr el
- 4:37riesgo de llegar a alguna contradicción
- 4:39así es que es bueno hacer todo esto
- 4:42aunque parezca que estamos haciendo
- 4:45mucho trabajo para llegar a una
- 4:46conclusión que ya nos parecía bastante
- 4:48razonable pero bueno ahora vamos a ver
- 4:51la tercera propiedad la tercera
- 4:54propiedad nos dice que si una función fx
- 4:57es igual a la suma de otras dos
- 5:00funciones por ejemplo g de x
- 5:05j de x entonces f prima de x es igual a
- 5:13g prima de x más j prima de x y bueno
- 5:20esto también es cierto si aquí en lugar
- 5:22de tener un + tenemos un menos si en
- 5:25lugar de que éstas sean sumas son restas
- 5:27si tienes la suma o resta de dos
- 5:31funciones la derivada va a ser la suma o
- 5:34resta de las derivadas de esas dos
- 5:37funciones y otra vez para asegurarnos de
- 5:40que esto es cierto podemos recurrir a la
- 5:42definición del límite f prima de x es
- 5:46igual al límite cuando h tiende a 0 de
- 5:51fx + h pero cuánto sf x + h bueno pues
- 5:56es
- 5:57dx más h más j de x más h bueno y todo
- 6:04esto es simplemente efe de x + h
- 6:08todavía nos falta a restar fx y fx
- 6:14tx más jota de equis porque ya que
- 6:20tenemos
- 6:20efe dx más h y aquí tenemos fx y
- 6:25queremos dividir todo esto entre h y
- 6:30aquí podemos reacomodar estos términos y
- 6:32nos queda como el límite cuando h tiende
- 6:36a cero deje de x más h - g de x más j de
- 6:45x más h - j de x / h pero esto también
- 6:54lo podemos poner de esta otra forma como
- 6:57estos dos términos entre h más estos
- 7:01otros dos términos entre h y estas dos
- 7:05formas son exactamente iguales ahora
- 7:08esto que tenemos aquí nosotros sabemos
- 7:11por las propiedades de los límites que
- 7:14esto es igual al límite cuando h tiende
- 7:18a cero deje de x más h - g de x / h más
- 7:28límite cuando h tiende a 0 de j de x + h
- 7:34- j de x / h ahora esto que tenemos aquí
- 7:41es la definición de g prima de x y esto
- 7:46que tenemos por acá es la definición de
- 7:49j prima de x y listo ya terminamos la
- 7:54derivada de una suma de funciones es la
- 7:57suma de las derivadas ahora si en lugar
- 8:00de estar sumando estuviéramos restando
- 8:03por aquí tendríamos un signo menos eso
- 8:06se pasaría por acá y aquí tendríamos una
- 8:09resta y entonces estas derivadas
- 8:12estarían restando pero bueno espero que
- 8:15todo esto haya hecho que te sientas muy
- 8:17seguro de que estas propiedades son
- 8:19ciertas
- 8:21sí es cierto tal vez podríamos haber
- 8:23adivinado que son ciertas estas
- 8:26propiedades pero es muy bueno utilizar
- 8:28las definiciones de derivada para estar
- 8:31completamente seguros de que en efecto
- 8:35estas propiedades son verdaderas