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Transcripción para Infinite geometric series formula intuition

  • 0:00lo que quiero hacer es otra especie de
  • 0:02demostración para calcular la suma de
  • 0:05una serie geométrica infinita y usaremos
  • 0:08una idea similar como cuando calculamos
  • 0:10la suma de una serie geométrica pero
  • 0:12finita así que digamos que yo quiero
  • 0:15calcular esta suma la suma y vamos a
  • 0:19empezar desde acá igual a cero hasta
  • 0:22infinito de
  • 0:24de nuestro término inicial que es a por
  • 0:28nuestra proporción común elevado a la k
  • 0:32muy bien esta es una serie geométrica
  • 0:34infinita y a este valor a este valor
  • 0:37vamos a llamarle s sub infinito muy bien
  • 0:41estamos calculando la suma para una
  • 0:43infinidad de términos muy bien entonces
  • 0:46esto quién es esto sí sí lo vamos
  • 0:49desarrollando pues será a por ere a la 0
  • 0:52muy bien sería por ere elevado a la 0
  • 0:58ahora qué pasa cuando k es igual a 1
  • 1:01tendremos a por r elevado a la 1 más
  • 1:07digamos a por r ahora elevado al
  • 1:12cuadrado y así podemos ir sumando todos
  • 1:15estos términos de forma consecutiva aquí
  • 1:18seguiría a por r al cubo más a por erre
  • 1:21a la cuarta y así sucesivamente hasta
  • 1:23infinito muy bien entonces aquí es en
  • 1:27donde vamos a utilizar una técnica
  • 1:28parecida al caso finito multiplicamos
  • 1:32ese infinito por r ok por nuestra
  • 1:36proporción común y eso fue lo que
  • 1:38hicimos en el caso finito verdad hacemos
  • 1:41r por s su infinito muy bien y esto que
  • 1:46nos da por por supuesto esto es una
  • 1:48especie de demostración cuando cuando
  • 1:50nosotros jugamos con el infinito hay que
  • 1:52hay que tener mucho cuidado hay que
  • 1:55pensar un poco más profundo porque
  • 1:57podemos estar haciendo cosas que no son
  • 1:59necesariamente válidas pero en este caso
  • 2:02si multiplicamos por r este término nos
  • 2:04queda
  • 2:05por ere elevado ahora la 1 más
  • 2:11más a por ere elevada al cuadrado al
  • 2:17cuadrado más a por ere a por ere elevado
  • 2:23al cubo y así sucesivamente verdad
  • 2:27estamos simplemente elevando a un
  • 2:30exponente mayor cada cada término de
  • 2:33esta suma muy bien entonces si nosotros
  • 2:36restamos
  • 2:38si nosotros restamos es decir si tenemos
  • 2:40ese infinito - r por ese infinito verdad
  • 2:46es decir restamos el de arriba con el de
  • 2:49abajo esto que nos da bueno pues lo que
  • 2:52tenemos que observar es que a poder real
  • 2:54a ceros sobreviven o se cancela y eso
  • 2:57simplemente es a pero ahora a por él a
  • 3:00la 1 se cancela con este de aquí a por
  • 3:03el real a dos se cancela con este de
  • 3:05aquí a por el real a tres se cancelará y
  • 3:08así sucesivamente todos estos se
  • 3:10cancelan hasta el infinito verdad todos
  • 3:14esos se van a cancelar ok entonces
  • 3:17simplemente nos quedó que esta
  • 3:19diferencia es igual a a muy bien sin
  • 3:23embargo lo que podemos hacer aquí es
  • 3:25factorizar ese infinito y si nosotros
  • 3:28factor izamos ese infinito nos queda ese
  • 3:31infinito que multiplica a uno
  • 3:33- cr y esto debe ser igual aa muy bien
  • 3:38entonces como nosotros realmente
  • 3:41queríamos calcular quién es ese infinito
  • 3:44entonces basta pasar dividiendo a 1 - r
  • 3:48ya que hay que tener cuidado verdad hay
  • 3:50que tener cuidado siempre vamos a
  • 3:52dejarlo en los mismos colores tendremos
  • 3:55ese infinito será igual a a a- entre
  • 4:01entre 1 - 0 y el cuidado que hay que
  • 4:05tener es que para poder dividir r no
  • 4:08puede ser uno no puede ser uno muy bien
  • 4:11entonces ahora ya tenemos el valor de la
  • 4:15suma de esta serie geométrica infinita y
  • 4:18esto es algo que a mí me parece
  • 4:20sorprendente es es increíble pensar como
  • 4:23una suma infinita de números puede dar
  • 4:26un resultado finito verdad y por
  • 4:29supuesto aquí como les decía hay que
  • 4:30tener mucho cuidado con con todas las
  • 4:33restricciones que estamos
  • 4:35o que el mismo problema nos impone muy
  • 4:38bien entonces vamos a ver un ejemplo
  • 4:42digamos que nuestro término iniciales 5
  • 4:44y nuestra proporción común r es tres
  • 4:48quintos entonces si multiplicamos cinco
  • 4:50por tres quintos nos queda simplemente
  • 4:53tres si multiplicamos por tres quintos
  • 4:56nos queda tres por tres son nueve y
  • 4:58dividido entre cinco si multiplicamos
  • 5:01por tres quintos nos quedan nueve por
  • 5:03tres son 27 entre 5 por 5 que son 25 si
  • 5:09volvemos a multiplicar por tres quintos
  • 5:11nos da 3 por 27 son 81 entre 125 que es
  • 5:175 por 25 verdad y así podemos seguirnos
  • 5:20entonces esta es una serie geométrica
  • 5:23infinita y aquí nuestra proporción común
  • 5:26cumple que es más chica que 1 entonces
  • 5:29este resultado vamos a utilizarlo a es
  • 5:33nuestro término inicial que 5 entonces
  • 5:36esta serie geométrica vale 5
  • 5:401 - la proporción común que son tres
  • 5:44quintos entonces esto simplemente será
  • 5:47esto será cinco entre uno menos tres
  • 5:52quintos son dos quintos y esto lo mismo
  • 5:55que cinco por cinco medios entonces son
  • 5:5925 medios esto es esto es exactamente
  • 6:0312.5 entonces esto es lo maravilloso de
  • 6:07las series geométricas como pueden dar
  • 6:09resultados finitos a partir de cosas
  • 6:11infinitas y recordemos que todo esto
  • 6:14funciona siempre y cuando nuestra
  • 6:16proporción común cumple que su valor
  • 6:18absoluto es menor que 1 ahora por qué
  • 6:21porque tiene que pasar esto porque cada
  • 6:24uno de estos términos tiene que irse
  • 6:25haciendo cada vez más y más chico porque
  • 6:28si se hacen muy grandes esto se va a
  • 6:30disparar hacia el infinito se hace muy
  • 6:32muy grande entonces necesitamos que el
  • 6:35valor absoluto de nuestra proporción
  • 6:36común sea más chico que uno
  • 6:40de hecho uno puede ver que ya hay
  • 6:41problemas cuando r es igual a 1 verdad
  • 6:44esta fórmula ya no tiene sentido porque
  • 6:46estaríamos dividiendo dividiendo entre 0
  • 6:49y eso no tiene sentido sin embargo si r
  • 6:52fuera uno tendríamos aquí a más a por
  • 6:55uno que es a más a por uno al cuadrado
  • 6:58que es a entonces estaríamos sumando
  • 7:00muchas muchas muchas muchas as muy bien
  • 7:04entonces si sumamos muchas hadas pues
  • 7:06esto claramente no no convergen se hace
  • 7:09un número cada vez más y más grande ok
  • 7:12sí por si por el contrario fuera menos
  • 7:15uno por ejemplo aquí tendríamos a menos
  • 7:18a más a menos a más a menos a y entonces
  • 7:22esto es un valor que bout oscilando y no
  • 7:24converge verdad va entre oscilando de
  • 7:28esta forma aunque entonces para er igual
  • 7:31a 1 y r igual a menos 1 no tiene sentido
  • 7:34así que sólo nos podemos quedar con las
  • 7:37proporciones comunes que tienen valor
  • 7:39absoluto menor que 1 lo que es lo mismo
  • 7:42esto esto es otra forma de decir esto es
  • 7:44que menos 1
  • 7:46es menor que r y es menor que 1 para
  • 7:49estos valores la serie geométrica se
  • 7:52converge