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Transcripción para Proof of p-series convergence criteria

  • 0:00quiero que observes lo que tenemos aquí
  • 0:02de color anaranjado si observas esta es
  • 0:05una serie es decir la suma desde uno
  • 0:08está infinito de 1 / n elevado a la pep
  • 0:11y lo que vamos a hacer en este vídeo es
  • 0:14pensar acerca de las condiciones es
  • 0:16decir para que peso esta p serie va a
  • 0:19converger y para que sea una p serie por
  • 0:22definición
  • 0:23pep tiene que ser mayor que 0 así que he
  • 0:26puesto por acá estas gráficas para
  • 0:28pensar un poco en cómo vamos a saber
  • 0:31cuando esta pc de converja entonces en
  • 0:34esta primera gráfica observan tenemos la
  • 0:37curva
  • 0:37esta es la curva de igual a 1 / x alape
  • 0:41y estamos diciendo en términos generales
  • 0:44ya que es mayor que 0 que sabemos que va
  • 0:47a ser una función decreciente como en
  • 0:50esta otra segunda gráfica donde una vez
  • 0:52más aquí tenemos bien igual a 1 entre x
  • 0:56elevado a la pep y ahora lo que hemos
  • 0:58sombreado de color blanco debajo de la
  • 1:01curva y sobre el eje x positivo
  • 1:04integral impropia desde uno hasta
  • 1:07infinito de 1 / x a la p de x así que
  • 1:12esta área fue lo que sombre amos antes
  • 1:14de empezar el vídeo en ambas gráficas
  • 1:16bien ahora lo que tenemos aquí
  • 1:18visualmente es que existe una
  • 1:20convergencia y divergencia muy estrecha
  • 1:23entre esta p seria y esta integral que
  • 1:25tenemos aquí ya que cuando vemos esta
  • 1:27gráfica de la izquierda podemos ver que
  • 1:30esta serie puede ser vista como una
  • 1:32aproximación de riman por arriba de esa
  • 1:35área a qué me refiero con eso bien
  • 1:38piensen en el área de este primer
  • 1:40rectángulo el ancho es de 1 y la altura
  • 1:44es de 1 entre 1 / pm ya que este es el
  • 1:47primer término de esta p seria entonces
  • 1:49este rectángulo solo tendría un área de
  • 1:521
  • 1:53ojo las escalas de x de james no son las
  • 1:55mismas ahora observa el segundo
  • 1:58rectángulo el área de este segundo
  • 2:00rectángulo sería 1 entre 2 elevado a la
  • 2:02p el área del siguiente es de 1 entre 3
  • 2:06elevado la penn y así sigue entonces la
  • 2:09suma de estas áreas de esos rectángulos
  • 2:11es el valor de esta pecera y lo que
  • 2:13puedes ver es que cada uno de estos
  • 2:15rectángulos está abarcando más que el
  • 2:17área bajo la curva así que sabemos que
  • 2:20el área bajo la curva será mayor que 0 y
  • 2:24que esta serie va a ser mayor que la
  • 2:26integral desde 1 este infinito de 1 /
  • 2:30exhala pep de x es decir va a ser mayor
  • 2:33que el área bajo la curva pero si
  • 2:36sumamos 1 al área bajo la curva en esta
  • 2:39ocasión no solamente estamos hablando
  • 2:41del área en blanco también estamos
  • 2:43hablando de esta área de rojo que acabo
  • 2:46de agregar entonces ahora nuestra pcd va
  • 2:49a ser menor que uno más esta integral ya
  • 2:53que el primer término de nuestra serie
  • 2:54es igual a 1 y luego todos los demás
  • 2:57términos pueden verse como una
  • 2:58aproximación de riman por debajo de la
  • 3:01curva y pueden ver que encajan debajo de
  • 3:04la curva y además dejan un poco de
  • 3:06espacio así que eso va a ser menor que
  • 3:09la expresión 1 más la integral de 1
  • 3:11infinito de 1 / x la p
  • 3:15ahora pensemos en lo que pasa si sabemos
  • 3:18que es integral de aquí divergen es
  • 3:21decir no convence a un valor infinito
  • 3:23bien entonces la p se va a ser mayor que
  • 3:26eso hace que se le integra el divergen
  • 3:28entonces la p seria
  • 3:30en definitiva divergen del mismo modo
  • 3:33así esto de aquí convergen es decir esta
  • 3:36integral va a tomar un valor finito
  • 3:38bueno pues uno más es integral aún va a
  • 3:41converger
  • 3:42así que nuestra psr también debe de
  • 3:44converger debe ir a un valor finito y
  • 3:47todo lo que estoy hablando aquí es en
  • 3:50realidad la prueba de la integral cuando
  • 3:52pensamos en pruebas de convergencia y
  • 3:54divergencia a veces utilizamos este
  • 3:56método pero sólo me estoy asegurando de
  • 3:58que tenemos una buena comprensión
  • 4:00conceptual de lo que está pasando y no
  • 4:03una aplicación ciega de la prueba de la
  • 4:05integral y ahora bien también podrían ir
  • 4:07de otra manera si la p sería conveniente
  • 4:09entonces seguro que esta integral va a
  • 4:11converger y si la p serie divergen
  • 4:13entonces seguro la expresión uno más
  • 4:16esta integral que tengo aquí va a
  • 4:19divergen y por lo tanto la integral
  • 4:22muy bien con esto podemos decir que la p
  • 4:25serie convergen sí solo sin esta
  • 4:28integral que tengo aquí converge así que
  • 4:32encontrar bajo qué condiciones o para
  • 4:34qué valores de pecom bergel ap serie se
  • 4:37reducen a encontrar bajo qué condiciones
  • 4:40esta integral convergen así que déjame
  • 4:43bajar la pantalla y vamos a pensar en
  • 4:45que tiene que ser verdad para que esta
  • 4:48integral converjan entonces déjame
  • 4:50escribirla tenemos la integral impropia
  • 4:53desde 1 hasta infinito de 1 / x elevado
  • 4:58a la p de x y bueno voy a decir que esta
  • 5:01integral es exactamente lo mismo que
  • 5:04tomarme el límite cuando m tiende a
  • 5:07infinito de la integral de uno hasta m y
  • 5:11en lugar de poner uno entre x alape voy
  • 5:14a poner x elevado la menos p de x
  • 5:17elevado a la menos p de x
  • 5:20y por ahora permite enfocarse solamente
  • 5:23en nuestra integral el integral de 1m x
  • 5:26a la menos px y sólo recordemos que al
  • 5:28final vamos a sacar el límite cuando m
  • 5:31tiende a infinito
  • 5:32ahora vamos a fijarnos qué valores puede
  • 5:34tomar esta integral ahora ya sabemos que
  • 5:36es mayor que 0 así que en esta ocasión
  • 5:39tenemos dos casos el primer caso es
  • 5:42cuando te vale 1 porque si te vale 1
  • 5:44entonces esto va a ser simplemente la
  • 5:46integral de 1 hasta emmen de uno entre x
  • 5:50de x y así tendríamos que esta es la
  • 5:51integral de uno hasta m de xcel a menos
  • 5:54uno de x lo cual es exactamente igual ya
  • 5:57sabemos el logaritmo natural de x
  • 5:59evaluado en uno y en emmen entonces esto
  • 6:04va a ser el logaritmo natural de m - el
  • 6:07logaritmo natural de 1 si hacemos la
  • 6:09evaluación y después podemos recordar
  • 6:12que el elevado de acero es igual a 1
  • 6:14entonces el logaritmo natural de 1 ya lo
  • 6:17sabemos es 0 así que en este caso
  • 6:19especial esto se va y simplemente me
  • 6:21queda que cuando p es igual a 1 la
  • 6:24integral de
  • 6:25hasta m que nosotros buscábamos
  • 6:27simplemente se reducen a logaritmo
  • 6:29natural de m
  • 6:31ahora pensemos en el segundo caso donde
  • 6:33p no es igual a 1 bien en esta ocasión
  • 6:36lo que podemos usar es la regla de las
  • 6:39potencias que aprendimos en la
  • 6:41diferenciación básica así que
  • 6:43incrementamos el exponente 1
  • 6:45eso me quedaría x elevado a la menos p
  • 6:48más 1 que de hecho lo podemos escribir
  • 6:51más fácilmente como x elevado a la 1 pm
  • 6:54y luego lo dividiremos entre 1 - p y
  • 6:58ahora vamos a evaluar este resultado
  • 7:01desde 1 a m y entonces esto va a ser
  • 7:04igual lo podemos escribir después de
  • 7:07evaluarlo común m elevado a la 1 - p
  • 7:11entre 1 - p ya eso hay que quitarle la
  • 7:16evaluación en 1 que me quedarían 1
  • 7:19elevado a la 1pm entre 1 - pm y ya que
  • 7:24tengo
  • 7:25estas dos respuestas ahora vamos a sacar
  • 7:28los límites que dijimos que no íbamos a
  • 7:30olvidar así
  • 7:31recuerden no solamente necesitábamos la
  • 7:34integral de 1 m de exhala - pep de x no
  • 7:37solamente necesitamos acá delante
  • 7:39derivada aula integral definida sino que
  • 7:41queremos sacar además el límite cuando m
  • 7:44tiende a infinito entonces cuál es el
  • 7:46límite del logaritmo natural de m cuando
  • 7:49m tiende a infinito bien si m va hacia
  • 7:52el infinito es decir no está acotado el
  • 7:54logaritmo natural seguirá yendo hacia el
  • 7:56infinito así que cuando p es igual a 1
  • 7:59el límite cuando m tiende a infinito de
  • 8:02esta integral no converge en esta
  • 8:04integral no está acotada así que sí p es
  • 8:07igual a 1
  • 8:08entonces divergen
  • 8:11bien ya sabemos esto ahora pensemos en
  • 8:14el otro caso pensemos en el límite
  • 8:16cuando m tiende a infinito de esta
  • 8:19expresión que tengo aquí y se observa
  • 8:21toda esta expresión que tengo aquí en la
  • 8:23única parte que está afectada por el
  • 8:25límite es la parte que contiene a m así
  • 8:28que podemos escribir esto como bueno
  • 8:30primero podemos sacar 1 / 1 - p y decir
  • 8:34que queremos encontrar 1 entre 1 - p que
  • 8:38multiplica al límite cuando m tiende a
  • 8:40infinito de m elevado a la 1 pm y luego
  • 8:45por separado podemos restar todo lo
  • 8:47demás tengo 1 elevado a la 1 - pm se
  • 8:51observa en general para cualquier
  • 8:52exponente esto va a ser uno dividido
  • 8:55entre 1 - p es correcto
  • 8:58porque no observa no importa qué
  • 9:00exponente tengas en 1 - p 1 elevado a
  • 9:03cualquier potencia va a ser 1 y entonces
  • 9:05lo interesante es si convergen o no
  • 9:09convergen el límite cuando m tiende a
  • 9:12infinito de m elevado a la 1 - p
  • 9:15entonces todo va a depender si el
  • 9:18exponente es positivo o negativo observa
  • 9:21si 1 - pep es mayor que 0 si voy a ser
  • 9:24infinito y estoy elevando a m a un
  • 9:27exponente positivo entonces esto va a
  • 9:30divergir sí 1 - p es mayor que cero
  • 9:33podemos marte de ambos lados y esto es
  • 9:35lo mismo que uno mayor que pep o p menor
  • 9:38que 1 sip es menor que 1 la integral
  • 9:42vive bien hasta ahorita sabemos que para
  • 9:46hacer un menor que p menor que 1 y para
  • 9:49p igual a 1 la integral va a divergir
  • 9:52ahora viene falta pensar un caso qué
  • 9:54pasa si el exponente de m elevado a la
  • 9:571pm es negativo es decir si uno
  • 10:00p es menor que cero piénsalo un poco
  • 10:03tendríamos algo de la forma 1 entre m
  • 10:07elevado a un exponente positivo esa es
  • 10:10una forma de pensarlo así que cuando m
  • 10:12se aproxima infinito m elevado la 1 - p
  • 10:16se va a aproximar a 0 y justo es aquí en
  • 10:19este caso donde converge hemos donde
  • 10:22llegamos a un valor finito y entonces si
  • 10:24sumamos p de ambos lados me va a quedar
  • 10:26que si uno es menor que pero si p es
  • 10:29mayor que uno entonces esta integral con
  • 10:32b entonces ahí lo tienen
  • 10:35hemos establecido que la integral desde
  • 10:37uno este infinito de uno entre x la p de
  • 10:40x va a converger sólo en el caso donde p
  • 10:44es mayor que 1
  • 10:46si es mayor que 1 la integral convergen
  • 10:48y si 0 es menor que p menor o igual que
  • 10:521 en este caso la integral diverge y si
  • 10:56regresamos con todo esto podemos decir
  • 10:59que nuestra serie convergen solo en el
  • 11:02caso donde per es mayor que 1 si p es
  • 11:06mayor que 1 entonces convergen y si 0 es
  • 11:09menor que p que es menor o igual que uno
  • 11:12en este caso diverge y ahí lo tienen