Transcripción para Proof of p-series convergence criteria
- 0:00quiero que observes lo que tenemos aquí
- 0:02de color anaranjado si observas esta es
- 0:05una serie es decir la suma desde uno
- 0:08está infinito de 1 / n elevado a la pep
- 0:11y lo que vamos a hacer en este vídeo es
- 0:14pensar acerca de las condiciones es
- 0:16decir para que peso esta p serie va a
- 0:19converger y para que sea una p serie por
- 0:22definición
- 0:23pep tiene que ser mayor que 0 así que he
- 0:26puesto por acá estas gráficas para
- 0:28pensar un poco en cómo vamos a saber
- 0:31cuando esta pc de converja entonces en
- 0:34esta primera gráfica observan tenemos la
- 0:37curva
- 0:37esta es la curva de igual a 1 / x alape
- 0:41y estamos diciendo en términos generales
- 0:44ya que es mayor que 0 que sabemos que va
- 0:47a ser una función decreciente como en
- 0:50esta otra segunda gráfica donde una vez
- 0:52más aquí tenemos bien igual a 1 entre x
- 0:56elevado a la pep y ahora lo que hemos
- 0:58sombreado de color blanco debajo de la
- 1:01curva y sobre el eje x positivo
- 1:04integral impropia desde uno hasta
- 1:07infinito de 1 / x a la p de x así que
- 1:12esta área fue lo que sombre amos antes
- 1:14de empezar el vídeo en ambas gráficas
- 1:16bien ahora lo que tenemos aquí
- 1:18visualmente es que existe una
- 1:20convergencia y divergencia muy estrecha
- 1:23entre esta p seria y esta integral que
- 1:25tenemos aquí ya que cuando vemos esta
- 1:27gráfica de la izquierda podemos ver que
- 1:30esta serie puede ser vista como una
- 1:32aproximación de riman por arriba de esa
- 1:35área a qué me refiero con eso bien
- 1:38piensen en el área de este primer
- 1:40rectángulo el ancho es de 1 y la altura
- 1:44es de 1 entre 1 / pm ya que este es el
- 1:47primer término de esta p seria entonces
- 1:49este rectángulo solo tendría un área de
- 1:521
- 1:53ojo las escalas de x de james no son las
- 1:55mismas ahora observa el segundo
- 1:58rectángulo el área de este segundo
- 2:00rectángulo sería 1 entre 2 elevado a la
- 2:02p el área del siguiente es de 1 entre 3
- 2:06elevado la penn y así sigue entonces la
- 2:09suma de estas áreas de esos rectángulos
- 2:11es el valor de esta pecera y lo que
- 2:13puedes ver es que cada uno de estos
- 2:15rectángulos está abarcando más que el
- 2:17área bajo la curva así que sabemos que
- 2:20el área bajo la curva será mayor que 0 y
- 2:24que esta serie va a ser mayor que la
- 2:26integral desde 1 este infinito de 1 /
- 2:30exhala pep de x es decir va a ser mayor
- 2:33que el área bajo la curva pero si
- 2:36sumamos 1 al área bajo la curva en esta
- 2:39ocasión no solamente estamos hablando
- 2:41del área en blanco también estamos
- 2:43hablando de esta área de rojo que acabo
- 2:46de agregar entonces ahora nuestra pcd va
- 2:49a ser menor que uno más esta integral ya
- 2:53que el primer término de nuestra serie
- 2:54es igual a 1 y luego todos los demás
- 2:57términos pueden verse como una
- 2:58aproximación de riman por debajo de la
- 3:01curva y pueden ver que encajan debajo de
- 3:04la curva y además dejan un poco de
- 3:06espacio así que eso va a ser menor que
- 3:09la expresión 1 más la integral de 1
- 3:11infinito de 1 / x la p
- 3:15ahora pensemos en lo que pasa si sabemos
- 3:18que es integral de aquí divergen es
- 3:21decir no convence a un valor infinito
- 3:23bien entonces la p se va a ser mayor que
- 3:26eso hace que se le integra el divergen
- 3:28entonces la p seria
- 3:30en definitiva divergen del mismo modo
- 3:33así esto de aquí convergen es decir esta
- 3:36integral va a tomar un valor finito
- 3:38bueno pues uno más es integral aún va a
- 3:41converger
- 3:42así que nuestra psr también debe de
- 3:44converger debe ir a un valor finito y
- 3:47todo lo que estoy hablando aquí es en
- 3:50realidad la prueba de la integral cuando
- 3:52pensamos en pruebas de convergencia y
- 3:54divergencia a veces utilizamos este
- 3:56método pero sólo me estoy asegurando de
- 3:58que tenemos una buena comprensión
- 4:00conceptual de lo que está pasando y no
- 4:03una aplicación ciega de la prueba de la
- 4:05integral y ahora bien también podrían ir
- 4:07de otra manera si la p sería conveniente
- 4:09entonces seguro que esta integral va a
- 4:11converger y si la p serie divergen
- 4:13entonces seguro la expresión uno más
- 4:16esta integral que tengo aquí va a
- 4:19divergen y por lo tanto la integral
- 4:22muy bien con esto podemos decir que la p
- 4:25serie convergen sí solo sin esta
- 4:28integral que tengo aquí converge así que
- 4:32encontrar bajo qué condiciones o para
- 4:34qué valores de pecom bergel ap serie se
- 4:37reducen a encontrar bajo qué condiciones
- 4:40esta integral convergen así que déjame
- 4:43bajar la pantalla y vamos a pensar en
- 4:45que tiene que ser verdad para que esta
- 4:48integral converjan entonces déjame
- 4:50escribirla tenemos la integral impropia
- 4:53desde 1 hasta infinito de 1 / x elevado
- 4:58a la p de x y bueno voy a decir que esta
- 5:01integral es exactamente lo mismo que
- 5:04tomarme el límite cuando m tiende a
- 5:07infinito de la integral de uno hasta m y
- 5:11en lugar de poner uno entre x alape voy
- 5:14a poner x elevado la menos p de x
- 5:17elevado a la menos p de x
- 5:20y por ahora permite enfocarse solamente
- 5:23en nuestra integral el integral de 1m x
- 5:26a la menos px y sólo recordemos que al
- 5:28final vamos a sacar el límite cuando m
- 5:31tiende a infinito
- 5:32ahora vamos a fijarnos qué valores puede
- 5:34tomar esta integral ahora ya sabemos que
- 5:36es mayor que 0 así que en esta ocasión
- 5:39tenemos dos casos el primer caso es
- 5:42cuando te vale 1 porque si te vale 1
- 5:44entonces esto va a ser simplemente la
- 5:46integral de 1 hasta emmen de uno entre x
- 5:50de x y así tendríamos que esta es la
- 5:51integral de uno hasta m de xcel a menos
- 5:54uno de x lo cual es exactamente igual ya
- 5:57sabemos el logaritmo natural de x
- 5:59evaluado en uno y en emmen entonces esto
- 6:04va a ser el logaritmo natural de m - el
- 6:07logaritmo natural de 1 si hacemos la
- 6:09evaluación y después podemos recordar
- 6:12que el elevado de acero es igual a 1
- 6:14entonces el logaritmo natural de 1 ya lo
- 6:17sabemos es 0 así que en este caso
- 6:19especial esto se va y simplemente me
- 6:21queda que cuando p es igual a 1 la
- 6:24integral de
- 6:25hasta m que nosotros buscábamos
- 6:27simplemente se reducen a logaritmo
- 6:29natural de m
- 6:31ahora pensemos en el segundo caso donde
- 6:33p no es igual a 1 bien en esta ocasión
- 6:36lo que podemos usar es la regla de las
- 6:39potencias que aprendimos en la
- 6:41diferenciación básica así que
- 6:43incrementamos el exponente 1
- 6:45eso me quedaría x elevado a la menos p
- 6:48más 1 que de hecho lo podemos escribir
- 6:51más fácilmente como x elevado a la 1 pm
- 6:54y luego lo dividiremos entre 1 - p y
- 6:58ahora vamos a evaluar este resultado
- 7:01desde 1 a m y entonces esto va a ser
- 7:04igual lo podemos escribir después de
- 7:07evaluarlo común m elevado a la 1 - p
- 7:11entre 1 - p ya eso hay que quitarle la
- 7:16evaluación en 1 que me quedarían 1
- 7:19elevado a la 1pm entre 1 - pm y ya que
- 7:24tengo
- 7:25estas dos respuestas ahora vamos a sacar
- 7:28los límites que dijimos que no íbamos a
- 7:30olvidar así
- 7:31recuerden no solamente necesitábamos la
- 7:34integral de 1 m de exhala - pep de x no
- 7:37solamente necesitamos acá delante
- 7:39derivada aula integral definida sino que
- 7:41queremos sacar además el límite cuando m
- 7:44tiende a infinito entonces cuál es el
- 7:46límite del logaritmo natural de m cuando
- 7:49m tiende a infinito bien si m va hacia
- 7:52el infinito es decir no está acotado el
- 7:54logaritmo natural seguirá yendo hacia el
- 7:56infinito así que cuando p es igual a 1
- 7:59el límite cuando m tiende a infinito de
- 8:02esta integral no converge en esta
- 8:04integral no está acotada así que sí p es
- 8:07igual a 1
- 8:08entonces divergen
- 8:11bien ya sabemos esto ahora pensemos en
- 8:14el otro caso pensemos en el límite
- 8:16cuando m tiende a infinito de esta
- 8:19expresión que tengo aquí y se observa
- 8:21toda esta expresión que tengo aquí en la
- 8:23única parte que está afectada por el
- 8:25límite es la parte que contiene a m así
- 8:28que podemos escribir esto como bueno
- 8:30primero podemos sacar 1 / 1 - p y decir
- 8:34que queremos encontrar 1 entre 1 - p que
- 8:38multiplica al límite cuando m tiende a
- 8:40infinito de m elevado a la 1 pm y luego
- 8:45por separado podemos restar todo lo
- 8:47demás tengo 1 elevado a la 1 - pm se
- 8:51observa en general para cualquier
- 8:52exponente esto va a ser uno dividido
- 8:55entre 1 - p es correcto
- 8:58porque no observa no importa qué
- 9:00exponente tengas en 1 - p 1 elevado a
- 9:03cualquier potencia va a ser 1 y entonces
- 9:05lo interesante es si convergen o no
- 9:09convergen el límite cuando m tiende a
- 9:12infinito de m elevado a la 1 - p
- 9:15entonces todo va a depender si el
- 9:18exponente es positivo o negativo observa
- 9:21si 1 - pep es mayor que 0 si voy a ser
- 9:24infinito y estoy elevando a m a un
- 9:27exponente positivo entonces esto va a
- 9:30divergir sí 1 - p es mayor que cero
- 9:33podemos marte de ambos lados y esto es
- 9:35lo mismo que uno mayor que pep o p menor
- 9:38que 1 sip es menor que 1 la integral
- 9:42vive bien hasta ahorita sabemos que para
- 9:46hacer un menor que p menor que 1 y para
- 9:49p igual a 1 la integral va a divergir
- 9:52ahora viene falta pensar un caso qué
- 9:54pasa si el exponente de m elevado a la
- 9:571pm es negativo es decir si uno
- 10:00p es menor que cero piénsalo un poco
- 10:03tendríamos algo de la forma 1 entre m
- 10:07elevado a un exponente positivo esa es
- 10:10una forma de pensarlo así que cuando m
- 10:12se aproxima infinito m elevado la 1 - p
- 10:16se va a aproximar a 0 y justo es aquí en
- 10:19este caso donde converge hemos donde
- 10:22llegamos a un valor finito y entonces si
- 10:24sumamos p de ambos lados me va a quedar
- 10:26que si uno es menor que pero si p es
- 10:29mayor que uno entonces esta integral con
- 10:32b entonces ahí lo tienen
- 10:35hemos establecido que la integral desde
- 10:37uno este infinito de uno entre x la p de
- 10:40x va a converger sólo en el caso donde p
- 10:44es mayor que 1
- 10:46si es mayor que 1 la integral convergen
- 10:48y si 0 es menor que p menor o igual que
- 10:521 en este caso la integral diverge y si
- 10:56regresamos con todo esto podemos decir
- 10:59que nuestra serie convergen solo en el
- 11:02caso donde per es mayor que 1 si p es
- 11:06mayor que 1 entonces convergen y si 0 es
- 11:09menor que p que es menor o igual que uno
- 11:12en este caso diverge y ahí lo tienen