Transcripción para Limit of sin(x)/x as x approaches 0
- 0:00lo que vamos a hacer en este vídeo es
- 0:02demostrar que el límite cuando teta
- 0:05tiende a cero del seno de teta entre
- 0:09teta esto es igual a 1 así que empecemos
- 0:13pero esta vez
- 0:14empezaremos dando una pequeña
- 0:15construcción geométrica o
- 0:17trigonométricas del asunto así que por
- 0:20acá tenemos este círculo blanco el cual
- 0:23es el círculo unitario y por lo tanto
- 0:26tiene un radio de 1 déjame notarlo
- 0:29este es el círculo unitario ahora cuál
- 0:33es la longitud de esta línea de color
- 0:36rojo bueno la altura de esta línea va a
- 0:39ser igual a la coordenada james de donde
- 0:42este radio interese acá al círculo
- 0:44unitario así que por las definiciones de
- 0:47las funciones trigonométricas dadas por
- 0:49el círculo unitario la longitud de este
- 0:52lado va a ser el seno de teta
- 0:55y si quisiéramos saber que esto también
- 0:57funciona para tetas que terminan en el
- 0:59cuarto cuadrante lo cual va a ser muy
- 1:02útil entonces podemos tomar el valor
- 1:05absoluto de el seno de theta ahora que
- 1:09hay de esta línea de color azul puede
- 1:11expresarla en términos de una función
- 1:13trigonométricas bueno vamos a pensarlo
- 1:16qué valor tomaría la tangente de teta
- 1:20bueno la tangente de teta es el lado
- 1:24opuesto el opuesto entre el adyacente
- 1:28así que si vemos este triángulo
- 1:30rectángulo que tengo aquí y tengo al
- 1:33ángulo theta en radiales entonces este
- 1:36es el lado opuesto y este de acá es el
- 1:39adyacente que es por cierto el radio del
- 1:41círculo unitario por lo tanto vale 1
- 1:43entonces esto vale 1 y simplemente me va
- 1:47a quedar que la tangente de teta es el
- 1:50lado opuesto muy bien el lado opuesto es
- 1:53la tangente de teta
- 1:55y como lo mencioné esto tomará un valor
- 1:58positivo en el primer cuadrante pero si
- 2:00lo quiero hacer para todo el círculo
- 2:02unitario tomaremos el valor absoluto de
- 2:05la tangente de teta esto porque queremos
- 2:08tomar las cosas en el primer y en el
- 2:10cuarto cuadrante ya que esto nos ayudará
- 2:13a nuestra demostración ok ahora es
- 2:15momento de movernos de aquí voy a pensar
- 2:18en algunos triángulos y sus respectivas
- 2:20áreas primero voy a dibujar un triángulo
- 2:23que esté en este pedazo en esta rebanada
- 2:26de pastel así que voy a construir este
- 2:28triángulo y pensemos en cuál es el área
- 2:31de lo que estoy pintando aquí como
- 2:34podemos expresar esta área bueno sabemos
- 2:37que el área de un triángulo es un medio
- 2:39por su base por su altura y sabemos que
- 2:42la altura de esto es el valor absoluto
- 2:44del seno de teta y que la base es de 1
- 2:48por lo tanto el área que va a ser igual
- 2:50a un médium por uno por el valor
- 2:54absoluto del seno de teta y lo puedo
- 2:57reducir aquí con bom déjame ponerlo como
- 3:00el valor absoluto del c
- 3:02dt está entre dos ahora pensemos en cuál
- 3:05es el área de este pedazo de pastel
- 3:08completo de esta sección circular entera
- 3:12como calculamos su área o dicho de otra
- 3:15manera qué fracción del círculo es bueno
- 3:18si fuéramos completamente alrededor de
- 3:21este círculo tendríamos dos veces por el
- 3:24radio entonces este de aquí va a ser
- 3:27bueno de tam entre dos del círculo
- 3:31entero y sabemos el área del círculo y
- 3:34más de este círculo unitario sabemos que
- 3:36su área es pib por el radio al cuadrado
- 3:39pero el radio es uno
- 3:40entonces me quedan simplemente pi por lo
- 3:43tanto el área de esta sección del
- 3:46círculo me va a ser teta entre 2 y si
- 3:51queremos que esto funcione para theta en
- 3:53el primer cuadrante y en el cuarto
- 3:55cuadrante entonces tomemos el valor
- 3:58absoluto de teta porque estamos hablando
- 4:00de un área positiva
- 4:02y ahora vamos a hablar de este triángulo
- 4:04grande de este que tengo de color azul
- 4:07el área que bueno es otra vez un medio
- 4:10por su altura por su base toda esta área
- 4:13va a ser igual a bueno un medio por la
- 4:17base que vale uno por la altura que
- 4:19sabemos que es el valor absoluto de la
- 4:21tangente de teta así que puedo escribir
- 4:23esto simplemente como el valor absoluto
- 4:26de la tangente dt está entre 2 ahora
- 4:29cómo podemos comparar estas áreas es
- 4:32decir el área del triángulo de color
- 4:34salmón con el área de la sección del
- 4:37círculo con el área del triángulo de
- 4:39azul bueno es claro que el área del
- 4:41triángulo de color salmón es menor o
- 4:43igual al área de la sección del círculo
- 4:46es decir de esta sección circular que a
- 4:49su vez es menor o igual al área del
- 4:51triángulo de azul el área de la sección
- 4:54circular es igual al área del triángulo
- 4:57salmón más este pedacito de aquí y el
- 4:59área del triángulo de azul es igual al
- 5:02área de la sección circular más
- 5:04este pedazo de aquí así que creo que al
- 5:06menos de una manera visual te sientes
- 5:08bien con estas desigualdades ahora sí
- 5:11hacemos un poco de manipulación
- 5:13algebraica y multiplicamos todo por 2 me
- 5:16va a quedar que el valor absoluto del
- 5:18seno de teta es menor o igual al valor
- 5:22absoluto de teta que es menor o igual al
- 5:25valor absoluto de la tangente de teta y
- 5:29ahora en lugar de poner el valor
- 5:31absoluto de la tangente de theta voy a
- 5:33escribir esto como el valor absoluto del
- 5:35seno de theta entre el valor absoluto
- 5:38del coste de 9 teta esto es exactamente
- 5:40lo mismo que el valor absoluto de la
- 5:42tangente de teta y la razón del por qué
- 5:45hice esto es porque ahora podemos
- 5:47dividir todo entre el valor absoluto del
- 5:51seno de teta
- 5:53como estoy dividiendo por una cantidad
- 5:55positiva no voy a afectar mis signos de
- 5:57desigualdad y me quedaría esto dividido
- 6:01entre el valor absoluto del seno de teta
- 6:03esto también dividido entre el valor
- 6:04absoluto del seno de tam y por aquí voy
- 6:07a multiplicar por 1 entre el valor
- 6:09absoluto del seno de teta y que obtengo
- 6:12bueno el valor absoluto en el seno de
- 6:14teta entre el valor absoluto del seno de
- 6:16t tan bueno hechos 1 y del lado derecho
- 6:18me quedo con bueno aquí estos dos se
- 6:21cancelan y me queda simplemente un
- 6:23hombre entre el valor absoluto del
- 6:26coseno de teta ahora el siguiente paso
- 6:29que voy a hacer es tomar el recíproco de
- 6:32todo y cuando me tomé el recíproco de
- 6:34esto se van a invertir las desigualdades
- 6:37cuidado el recíproco de uno bueno
- 6:40seguirá siendo 1 y ahora al tomar el
- 6:43siguiente recíproco me va a quedar que
- 6:45esto va a ser ahora mayor o igual y el
- 6:48recíproco de lo que tenemos en medium va
- 6:52a ser el valor absoluto del seno de tam
- 6:54entre el valor absoluto de teta se
- 6:56voltean
- 6:58y ahora al tomar el siguiente recíproco
- 7:01esta desigualdad me va a quedar como
- 7:03mayor o igual en el recíproco de 1 entre
- 7:07el valor absoluto del coste de beteta es
- 7:09simplemente el valor absoluto del coseno
- 7:11de teta y como sólo nos interesan qué es
- 7:14lo que pasa en el primer y en el cuarto
- 7:16cuadrante porque vamos a crear aproximar
- 7:18la teta a 0 en esta dirección y también
- 7:22en esta otra dirección por lo tanto nos
- 7:25interesa solamente lo que pasa en el
- 7:27primer y en el cuarto cuadrante bueno
- 7:29pues en el primer cuadrante donde t t es
- 7:31positivo el seno de teta también es
- 7:34positivo y en el cuarto cuadrante teta
- 7:37es negativo y el seno de teta tendrá el
- 7:39mismo signo también será negativo es por
- 7:42ello que estos valores absolutos salen
- 7:45sobrando en el primer cuadrante tengo
- 7:47algo positivo entre algo positivo y en
- 7:50el cuarto cuadrante tengo algo negativo
- 7:52entre algo negativo así que déjame
- 7:55quitarlos y ahora observa el coste lo
- 7:57que representa la coordenada x de
- 8:00nuestro punto la cual observa no es
- 8:02negativa
- 8:04en el cuarto cuadrante y por lo tanto
- 8:06podemos asegurar que será positiva
- 8:08entonces también quitaré el valor
- 8:11absoluto al coseno de teta ahora podemos
- 8:14pasar un segundo este vídeo porque ya
- 8:16casi tenemos la respuesta puedes verla
- 8:18observa tenemos tres funciones puedes
- 8:21ver esto como fz igual a 1 estoy acá
- 8:24como head de teta igual al seno detectan
- 8:26entre teta y está como htc igual coseno
- 8:29beteta en este intervalo que nos
- 8:31importan que es el intervalo para menos
- 8:34y medios menor o igual a teta menor o
- 8:38igual a pi medios este intervalo que nos
- 8:40interesa es decir para cualquier ángulo
- 8:42hay entonces esta desigualdad es cierta
- 8:45por cómo estamos definir nuestras
- 8:47funciones ojo se detecta entre tan bueno
- 8:50ella si está definida para este
- 8:52intervalo excepto cuando te está vale 0
- 8:54para cualquier otro ángulo esta
- 8:56desigualdad se cumple y aún así podemos
- 8:59encontrar el límite así que podemos
- 9:02decir que por el teorema de comparación
- 9:04o del sándwich esto es cierto
- 9:07el intervalo entonces sabemos que lo
- 9:10siguiente también es cierto y aquí es
- 9:12donde debería de entrar un redoble de
- 9:14tambor porque el límite cuando teta
- 9:17tiende a cero de uno va a ser mayor o
- 9:21igual al límite cuando te está tiende a
- 9:24cero de seno de teta entre teta que es
- 9:26lo que estamos buscando que va a ser
- 9:29mayor o igual al límite cuando teta
- 9:31tiende a cero de coseno de teta y bueno
- 9:34esto claramente va a ser 1 así que
- 9:37déjame ponerlo esto es el límite que
- 9:39buscamos y este de aquí a ver cuál es el
- 9:43límite cuando teta tiende a cero de
- 9:45cociendo dt está bueno cociendo de cero
- 9:48es 1 y es una función continua y por lo
- 9:51tanto va a ser igual a 1 entonces veamos
- 9:54esta función debe de ser mayor o igual a
- 9:571 y menor o igual a 1 eso quiere decir
- 9:59que este límite tiene que ser igual a 1
- 10:02y ya con esto lo hemos logrado