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Transcripción para Proof of the derivative of sin(x)

  • 0:00tenemos aquí dos de las derivadas más
  • 0:03útiles en cálculo sabemos que la
  • 0:05derivada con respecto a x del seno de x
  • 0:08es el coseno de x y que la derivada con
  • 0:11respecto a x del coseno de x es el menos
  • 0:14seno de x esta parte derivadas nos
  • 0:17ayudan a resolver derivadas mucho más
  • 0:20complicadas ahora bien lo que vamos a
  • 0:22hacer en este vídeo será profundizar más
  • 0:25vamos a demostrar esta primera derivada
  • 0:28en este vídeo no probaremos la segunda
  • 0:31pero podemos probarla usando la
  • 0:33información que utilizaremos en esta
  • 0:35demostración espero que esto te haga
  • 0:37sentir más seguro y que veas que estas
  • 0:40expresiones no son inventadas y que hay
  • 0:42un rigor matemático detrás así que vamos
  • 0:45a intentarlo la derivada con respecto a
  • 0:49x del seno de x bueno por definición es
  • 0:53el límite cuando delta de x tiende a 0
  • 0:57de el seno de x más delta de x - el seno
  • 1:01de x esto entre delta de x
  • 1:05simplemente es la pendiente de la recta
  • 1:08entre los puntos x
  • 1:10x y x + delta de x coman 0 de x + delta
  • 1:14de x entonces cómo podemos evaluar esta
  • 1:18expresión bueno podemos reescribir el
  • 1:20seno de x + delta de x usando las
  • 1:24identidades trigonométricas de la suma
  • 1:26de ángulos así que esto será lo mismo
  • 1:28que el límite cuando delta se extiende a
  • 1:320 y ahora si si aplicamos la identidad
  • 1:35trigonométricas del pse nombre de una
  • 1:38suma de ángulos esto me va a quedar como
  • 1:40el coseno de x por el seno de delta de x
  • 1:45más el seno de x por el coseno de delta
  • 1:50tx esto es lo que sale del seno de una
  • 1:53suma de ángulos ya esto le quitamos el
  • 1:55seno de x y todo esto entre delta de x
  • 2:01lo único que hice fue usar las
  • 2:03identidades trigonométricas de la suma
  • 2:05de ángulos y esto a su vez se puede
  • 2:07describir como el límite cuando delta de
  • 2:11extiende a cero y déjame poner primero
  • 2:13esta parte de rojo del coseno de x por
  • 2:18el seno de delta tx entre delta de x y
  • 2:22tomaré todo lo demás en color anaranjado
  • 2:25observa que tengo la suma de varias
  • 2:26cosas y todo está dividido entre delta
  • 2:29de x entonces estoy separando las
  • 2:32fracciones más el seno de x por el
  • 2:35coseno de delta tx - el seno de x todo
  • 2:40esto entre delta de x recuerda estoy
  • 2:43tomando el límite de toda esta expresión
  • 2:45ahora el límite de una suma es lo mismo
  • 2:49que la suma de los límites entonces esto
  • 2:51será igual a el límite cuando delta de x
  • 2:55tiende a 0 del coseno dx que multiplica
  • 2:59al seno de delta de x entre delta de x
  • 3:02solo lo estoy escribiendo de esta forma
  • 3:05el límite cuánto delta de x tiende a
  • 3:08cero y veamos si puedo factorizar algo
  • 3:11por aquí tengo el seno de x que
  • 3:14multiplica al seno de delta de x menos 1
  • 3:18ok y todo esto entre delta de x y
  • 3:22revisemos si podemos simplificar esto un
  • 3:25poco más
  • 3:27en este primer límite observa que este
  • 3:30coseno de que es no tiene nada que ver
  • 3:32con el límite cuando delta se extiende a
  • 3:340 entonces puedo sacarlos del límite
  • 3:37tengo jose de x que multiplican al
  • 3:39límite cuando delta de x tiende a cero
  • 3:42del seno de delta de x entre delta tx
  • 3:45ahora para este segundo límite primero
  • 3:48quiero describir al coseno de delta de x
  • 3:51a menos 1 como menos que multiplica a 1
  • 3:55- el coseno del delta de x y después
  • 3:58tengo este signo negativo por el seno de
  • 4:01x y por esta expresión y observa que
  • 4:04pasa lo mismo que en el primer sumando
  • 4:06el seno de x en este segundo sumando no
  • 4:09tiene nada que ver con este límite
  • 4:11cuando delta se extiende a 0 entonces
  • 4:13puedo sacarlo del límite y me quedan
  • 4:16menos seno de x que multiplican al
  • 4:20límite cuando delta de que extiende a 0
  • 4:22de 1 - el coseno de delta de x entre
  • 4:27delta de x
  • 4:30para finalizar recordemos que en otros
  • 4:32vídeos hemos demostrado que si usamos el
  • 4:35teorema de comparación obtenemos que el
  • 4:38límite cuando delta de que extiende a 0
  • 4:40del seno de delta de x entre delta de x
  • 4:42todo esto es igual a 1 y también en otro
  • 4:47vídeo usando la idea de que este límite
  • 4:49es igual a 1 demostramos que este otro
  • 4:52límite de aquí es igual a cero así que
  • 4:55te encargó que veas aquellos vídeos
  • 4:57donde demuestren estos dos límites ambos
  • 5:00límites son muy útiles en el cálculo y
  • 5:03usando esto simplemente nos quedaremos
  • 5:05con coseno de x por uno menos seno de x
  • 5:10por 0 por lo tanto sólo nos quedaremos
  • 5:13con el coseno de x y hemos acabado hasta
  • 5:18el siguiente vídeo