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Transcripción para Limit of (1-cos(x))/x as x approaches 0

  • 0:00en este vídeo vamos a encontrar cuánto
  • 0:03vale el límite cuando x tiende a cero de
  • 0:07uno menos coseno de x / x y lo que vamos
  • 0:12a suponer en esta ocasión y esto es muy
  • 0:15importante es que el límite cuando x
  • 0:19tiende a cero del seno de x / x es igual
  • 0:23a 1 en esta ocasión no probaré de nuevo
  • 0:26este límite pero existe otro vídeo
  • 0:28completo en la canaca deming dedicado a
  • 0:31probar este famoso límite usando el
  • 0:34teorema de comparación del sándwich
  • 0:37bueno intentemos ahora probar el límite
  • 0:40inicial así que lo primero que haremos
  • 0:42es manipular algebraica mente esta
  • 0:45expresión multiplicando tanto el
  • 0:47numerador como el denominador por uno
  • 0:50más coseno de x
  • 0:54ok y para el denominador hay que hacer
  • 0:57lo mismo lo voy a multiplicar por uno
  • 0:59más
  • 1:01el coseno de x
  • 1:03y bueno no estoy cambiando el valor de
  • 1:06esta expresión esto es simplemente
  • 1:08multiplicar por 1 pero en que nos ayudan
  • 1:11bueno es que ahora puedo reescribir toda
  • 1:14esta expresión como el límite cuando
  • 1:17extiende a 0 de i observa 1 - coseno de
  • 1:22x por uno más coseno de x esto es igual
  • 1:25a bueno uno elevado al cuadrado lo cual
  • 1:29es uno menos coseno de x elevado al
  • 1:32cuadrado lo cual es coseno cuadrado de x
  • 1:35es una diferencia de cuadrados y en el
  • 1:38denominador voy a tener que esto es
  • 1:40simplemente pues x por uno más posee no
  • 1:43de x ahora cuánto es uno menos coseno
  • 1:47cuadrado de x bueno si usamos la famosa
  • 1:50identidad trivundza métrica pitagórica
  • 1:52esto es lo mismo que el seno cuadrado de
  • 1:55x y por lo tanto puede reescribir todo
  • 1:58esto como el límite cuando x tiende a
  • 2:00cero
  • 2:01dm y bueno en lugar de escribir el seno
  • 2:04cuadrado de x voy a escribirlo como el
  • 2:07seno de x por el seno de x
  • 2:09déjame escribirlo seno de x por el seno
  • 2:12de x entonces me queda el límite cuando
  • 2:15existente a cero en el seno de x / x
  • 2:18tomándome solamente el primer seno de x
  • 2:22y dividiéndolo entre esta x seno de x /
  • 2:26x x y ahora me tomaré el segundo seno de
  • 2:30x y lo voy a dividir entre 1 + coseno de
  • 2:34x seno de x entre 1 + coseno de x hasta
  • 2:40este momento lo único que he hecho es
  • 2:43usar la identidad trigonométricas
  • 2:45pitagórica y manipular la expresión de
  • 2:48una manera algebraica bien aquí tengo el
  • 2:51límite del producto de dos expresiones
  • 2:53así que esto es lo mismo que el producto
  • 2:56de los límites esto va a ser igual al
  • 2:59límite cuando x tiende a cero de seno de
  • 3:02x / x de acero de x / x por el límite
  • 3:09cuando x tiende a 0 del seno de x entre
  • 3:131 + coseno de x
  • 3:16pero ya sabemos cuánto vale el límite
  • 3:19cuando x tiende a cero de seno de x / x
  • 3:22fue lo que dijimos el inicio del vídeo
  • 3:24me recuerdas cuánto vale el límite
  • 3:27cuando x tiende a cero de seno de x / x
  • 3:29bueno como puedes ver acá arriba dijimos
  • 3:32que es igual a 1 así que este límite se
  • 3:35reduce simplemente a saber cuánto vale
  • 3:37este otro límite así que veamos qué es
  • 3:40lo que pasa con él si ahora sustituimos
  • 3:42por el valor de cero porque x se
  • 3:45aproxima a cero
  • 3:47entonces observa en el numerador esto se
  • 3:50aproxima a 0 seno de 0 0 y el
  • 3:53denominador se aproxima bueno conociendo
  • 3:55de cero es 1 entonces lo de abajo se
  • 3:58aproxima a 2 es algo distinto de 0 y por
  • 4:02lo tanto toda esta expresión se está
  • 4:04aproximando a 0 entre 2 o simplemente a
  • 4:080 y 1 por 0 0 y eso quiere decir que
  • 4:11todo este límite es simplemente cero y
  • 4:15ya hemos acabado usando este límite que
  • 4:18escribimos en un principio y algunas
  • 4:20identidades trigonométricas y bastante
  • 4:23manipulación
  • 4:23es sencilla llegamos al resultado
  • 4:26pudimos demostrar que nuestro límite
  • 4:28original el límite cuando x tiende a 0
  • 4:31de 1 - coseno de x / x es igual a 0 y te
  • 4:37encargo que lo graphic es para que veas
  • 4:39que en efecto esto tiene todo el sentido
  • 4:42del mundo y así también lo compruebes de
  • 4:45una manera visual nos vemos en el
  • 4:47siguiente vídeo