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Transcripción para Proof: The derivative of 𝑒ˣ is 𝑒ˣ

  • 0:00el número tiene muchas clases de
  • 0:02propiedades asombrosas solo como un
  • 0:05repaso al número en lo puedes ver como
  • 0:08el límite cuando entiende infinitud de 1
  • 0:12más 1 / n esto elevado a la n que por
  • 0:17cierto también lo podemos ver como el
  • 0:19límite cuanto n tiende a cero de uno más
  • 0:22n elevado a la 1 entre n pero en lo que
  • 0:27vamos a enfocar este vídeo es en una de
  • 0:30las propiedades más impresionantes de
  • 0:32una de las tantas propiedades asombrosas
  • 0:35pero creo que esta es la más relevante
  • 0:37en el cálculo y es la noción de que si
  • 0:40tomamos la derivada con respecto a x de
  • 0:44a a la x ok
  • 0:47aquí es donde va el redoble de tambor
  • 0:48esto debe de ser igual
  • 0:51a la x
  • 0:52al menos para mí esto me parece
  • 0:54maravilloso y es que déjame mostrarte
  • 0:56una gráfica para que apreciemos lo que
  • 0:58te digo esta es parte de la gráfica de
  • 1:01igual
  • 1:03a la equis y lo que dice aquí es que la
  • 1:06derivada con respecto a x de ea la x es
  • 1:09a la x es decir la pendiente de la recta
  • 1:12tangente en cualquier punto de esta
  • 1:14función es igual al valor que toma la
  • 1:17función en ese punto vamos a observarlo
  • 1:19si vemos aquí donde nuestra función toma
  • 1:22el valor de 1 la pendiente de la recta
  • 1:25tangente también toma el valor de 1 y
  • 1:27por ejemplo aquí el valor de la función
  • 1:29es 2 y la pendiente de la recta tangente
  • 1:32también toma el valor de 2 y aquí el
  • 1:34valor de la función es 4 y la pendiente
  • 1:37de la recta tangente también toma el
  • 1:39valor de 4 así que podrás seguir porque
  • 1:42esta es una de las cosas increíbles de
  • 1:43él pero ahora en lo que quiere enfocarme
  • 1:46es en demostrar esta derivada es decir
  • 1:50quiero que usemos nuestra definición de
  • 1:52derivada recuerda la derivada con
  • 1:54respecto a x en este caso de ea la e
  • 1:57es igual y pongamos al límite cuando
  • 2:02delta de x tiende a 0 de eb elevado a la
  • 2:07equis más delta de x menos a la equis
  • 2:11entre delta de x ok
  • 2:14dado esto hagamos un poco de
  • 2:16manipulación algebraica kim para ver si
  • 2:19podemos llegar a algo mejor y demostrar
  • 2:22esta derivada tengo que esto es igual al
  • 2:25bueno al límite cuando delta de x tiende
  • 2:27a cero y aquí solamente voy a usar las
  • 2:30propiedades de los exponentes y voy a
  • 2:31escribir esto como a la x x ala delta de
  • 2:35x observa solo estoy usando las
  • 2:38propiedades de los exponentes menos este
  • 2:42a la x entre delta de x pro claridad
  • 2:46observa que esto es lo mismo que esto
  • 2:49ahora puedo factorizar de aquí un x y de
  • 2:53hecho como x no se afecta cuando delta
  • 2:56de x tiende a cero entonces lo puedo
  • 2:58sacar del límite así que hagamos eso voy
  • 3:01a factorizar
  • 3:03a la x y lo voy a sacar del límite lo
  • 3:06vamos a sacar por completo porque no se
  • 3:08ve afectado por delta de x entonces esto
  • 3:11va a ser igual a elevado a la x por el
  • 3:17límite cuando delta de x tiende a cero y
  • 3:21que me queda bueno me queda el elevado a
  • 3:25la delta de x menos 1 entre delta de x
  • 3:30bien y ahora nos vamos a poner un poco
  • 3:32más elegantes con nuestros límites lo
  • 3:35que vamos a hacer es lo que se conoce
  • 3:36como un cambio de variable entonces lo
  • 3:40que voy a decir es bueno no sé cómo
  • 3:42encontrar directamente este límite pero
  • 3:44tal vez puedo simplificarlo y quién sabe
  • 3:47tal vez pueda encontrar algunas de las
  • 3:49formas descritas aquí arriba así que qué
  • 3:52pasa si hago aquí una sustitución voy a
  • 3:55decir que n sea igual a am elevado a la
  • 4:00delta de x menos 1 por lo tanto cuál es
  • 4:04el valor de delta de x en términos de n
  • 4:07veamos si sumamos uno de ambos lados me
  • 4:10queda que n
  • 4:11uno es igual ha elevado la delta de x y
  • 4:15xi ahora sacamos el logaritmo natural
  • 4:16logaritmo en base de ambos lados obtengo
  • 4:20que el logaritmo natural de n más uno es
  • 4:23igual a delta de x y ahora lo podemos
  • 4:26sustituir todo en este límite esto lo
  • 4:30podemos sustituir por esto y esto de
  • 4:32aquí arriba lo podemos sustituir por n
  • 4:35y qué le pasaría al límite bueno cuando
  • 4:38delta de x tiende a cero a que se
  • 4:41aproxima n ok veamos si delta de x
  • 4:45tiende a cero esto implica que entiende
  • 4:50bueno si delta de x tiende a cero aquí
  • 4:53arriba tendrían elevado la 0 es igual a
  • 4:561 -1 lo cual es cero
  • 4:58entonces n tiende a cero inclusive
  • 5:00también lo puedes ver por acá abajo
  • 5:02observa el logaritmo natural de 0 más
  • 5:05uno es igual a logaritmo natural de 1
  • 5:07que es igual a 0
  • 5:09así que si delta de x tiende a cero esto
  • 5:12implica que n tiende a 0 ahora puedes
  • 5:15reemplazar este límite cuando delta de x
  • 5:18tiende a 0 y ahora decir que es el
  • 5:20límite cuando n tiende a 0 es más déjame
  • 5:23reescribir todo esto este es el paso más
  • 5:25elegante de toda la demostración me
  • 5:28queda
  • 5:29a la x que multiplica al límite cuando n
  • 5:33tiende a 0 y recuerda voy a poner cuando
  • 5:37n tiende a 0 porque como ya vimos si
  • 5:39delta de x tiende a cero esto implica
  • 5:41que en
  • 5:42tiende a cero y viceversa y en el
  • 5:44numerador me va a quedar simplemente n y
  • 5:47delta de x es simplemente el logaritmo
  • 5:49natural de n 1 perfecto ya tengo esta
  • 5:54expresión de aquí y ahora en que nos
  • 5:56beneficia bueno qué va a pasar si
  • 5:58dividimos el numerador y el denominador
  • 6:01por n entonces voy a multiplicar acá
  • 6:04abajo por 1 entre n y voy a hacer lo
  • 6:06mismo que arriba el numerador me queda
  • 6:08simplemente 1 y el denominador a que va
  • 6:12a ser igual bueno podemos usar ahora
  • 6:14nuestras propiedades de los logaritmos y
  • 6:17decir que esto va a ser igual a ea la x
  • 6:22que multiplica al límite cuando éste
  • 6:25tiende a 0 de 1
  • 6:28/ y ahora para escribir esta parte que
  • 6:32tengo aquí abajo voy a usar una de
  • 6:35nuestras propiedades de los logaritmos
  • 6:37más importantes recordemos si tenemos a
  • 6:41por el logaritmo natural debe bueno eso
  • 6:45es lo mismo que el logaritmo natural de
  • 6:47bem elevado a la aap esta es parte de
  • 6:50nuestras propiedades de los logaritmos y
  • 6:53porque nos va a servir bueno porque
  • 6:55entonces la parte de abajo nos va a
  • 6:57quedar como el logaritmo natural de n 1
  • 7:01es más para que te sea más claro déjeme
  • 7:03ponerlo como el logaritmo natural de uno
  • 7:06más en esto elevado a la 1 entre n el
  • 7:11lugar y tmo natural de todo esto y ahora
  • 7:15estoy seguro que eso te resulta bastante
  • 7:17familiar porque lo que acabamos de
  • 7:19construir se parece mucho a lo que
  • 7:21tenemos acá arriba mirá acá arriba
  • 7:24teníamos el límite cuando n tiende a
  • 7:26cero de uno más en el elevado a la 1
  • 7:30entre n y de hecho podemos usar nuestras
  • 7:32propiedades de los límites
  • 7:34porque este uno no es afectado por el
  • 7:36límite y entonces podemos decir que y
  • 7:39ahora si nos aproximamos en la recta
  • 7:41final tengo a la equis que multiplica a
  • 7:47uno
  • 7:49entre el logaritmo natural del límite
  • 7:53cuando n tiende a 0 déjame escribir lo
  • 7:57del límite cuando n tiende a 0 de ken de
  • 8:01uno más en el elevado a la 1 entre n y
  • 8:05ahora que es esto que tengo aquí adentro
  • 8:08del logaritmo natural es decir a que es
  • 8:11igual el límite cuando n tiende a cero
  • 8:13de uno más en elevado a la 1 entre n
  • 8:15bueno ya lo habíamos dicho acá arriba
  • 8:17esta es la definición de observa es lo
  • 8:21mismo que tenía que arriba esto es
  • 8:23simplemente y si ahora sustituyó a todo
  • 8:26esto por el que me va a quedar bueno me
  • 8:29va a quedar elevado a la x que
  • 8:32multiplica a 1 entre el logaritmo
  • 8:36natural de porque esto era él y ahora
  • 8:39cuánto vale el logaritmo natural de a
  • 8:42qué potencia tengo que elevará a él para
  • 8:44obtener
  • 8:45bueno eso es simplemente uno así que
  • 8:48esto nos queda como a la equis y hemos
  • 8:51acabado acabamos de demostrar que la
  • 8:54derivada con respecto a x de ea la x es
  • 8:58igual a e a la x y bueno a mí esto me
  • 9:02parece sorprendente esto nos muestra una
  • 9:04dimensión más de la belleza de este
  • 9:07número y espero que lo hayas disfrutado
  • 9:09y nos vemos en el siguiente vídeo