La transformada de Laplace de cos(t) y de polinomios

en el vídeo anterior vimos la transformada de la plaza de s prima de t que esto es igual a ese por la transformada de la plaza de f dt - efe de 0 ahora lo que vamos a hacer es usar esta propiedad que sabemos que es verdad para agregar otros registros a nuestra tabla de transformadas de laplace la cual van a tener que memorizar si es que van a estar trabajando en alguno u otro momento con las transformadas de la plaza vamos a trabajar con esta transformada de la plaza que sabemos que es verdad y sabemos que la transformada de la plaza del seno de aporte es igual y de hecho recuerdo que fue bastante denso para encontrar esta transformada de la plaza es igual a a / s cuadrada más a cuadrada ahora vamos a usar estas dos cosas que ya sabemos para encontrar ahora la transformada de la plaza de joselo de a d esto va a ser igual a que bueno vamos a pensar que este coseno de ate es en realidad la derivada de una función de cuál podría ser una derivada a bueno sí efe prima de té es igual al coseno de aporte cuál va a ser nuestra potencial efecto hoy podría ser una posible efe desde esto tenemos que encontrar una para la que esto sea verdad y tenemos que eso es igual a 1 / a por seno de aporte por seno de a muy bien esto es f prima de t entonces va a ser igual a s por la transformada de la plaza de esta derivada 1 / a porsche no ate - efe de 0 que es uno entre a por seno de a por cero que es seno de cero así que se va de cero es cero este término lo quitamos así que todo esto va a ser igual a bueno esto uno entre a es una constante no hay término desde aquí lo podemos sacar podemos escribirlo como ese entre a por la transformada de la plaza de seno de a t y esto va a ser igual a s / a por a / s cuadrada masa cuadrada estas se cancelan y ahora nos va a quedar algo mucho más simple nos va a quedar la transformada de la plaza del cosenos de porte va a ser igual a s / s cuadrada más cuadrada y en tres minutos pudimos resolver esta transformada de la plaza usando cosas que ya sabemos y que fue mucho más rápido que cuando quisimos hacer la transformada de la plaza del seno de aporte pero bueno vamos a continuar qué cosas sabemos perdón y bueno nosotros ya sabemos que la transformada de la plaza uno es igual a uno en 3 veamos si podemos usar esto y la transformada de la plaza de f prima que es igual a s por la transformada de la plaza de f - efe de 0 aunque pensándolo bien vamos a reacomodar todo esto de manera que si conocemos efe cómo podemos recordar esto en términos de f prima y f de 0 así que nos queda la transformada de la plaza de f prima que podría escribir f dt pero vamos a ahorrarnos un poco de tiempo más efe de 0 eso va a ser igual a s por la transformada de la plaza de f y ahora vamos a dividir ambos lados de la ecuación entre ese y permíteme intercambiar los lados así que vamos a tener la transformada de la plaza también sale un poco checa la l pero bueno la transformada de la plaza de f va a ser igual a 1 entre s ya que dividía ambos lados entre s la transformada de la plaza efe prima más efe evaluada en 0 así que vamos a usar esto y esto para tratar de encontrar otras transformadas de laplace que nos sean útiles es la transformada de la plaza d la transformada de la plaza cuando ft es igual a t la transformada de la plaza cuando ft es igual a ti y vamos a usar esta propiedad esto va a ser igual a 1 entre s por la transformada de la plaza de la derivada cuál es la derivada de t abonó la derivada de te va a ser igual a 1 la transformada de la plaza de 1 - la transformada de f de 0 cuando te es igual a cero esto es igual a cero así que la transformada de la plaza de te va a ser igual a 1 entre s ya que la transformada de la plaza de uno es uno entre ese uno entre s al cuadrado menos cero la transformada de la plaza de uno es uno entre s la transformada de laplace dt es uno entre ese cuadrado y ahora vamos a ver la transformada de la plaza de al cuadrado veamos si aparece algún patrón la transformada de la plaza de t cuadrada va a ser igual a 1 / s x la transformada de la plaza de la derivada y cuál es la derivada de t cuadrada bueno la derivada de cuadradas 2 por t así que va a ser a transformada de la plaza de 2 t esto evaluado en 0 que va a ser igual a 0 así que esto va a ser igual a podemos quitar esta constante de aquí 2 / s por la transformada de la plaza de t y todo esto a que va a ser igual bueno esto ya lo resolvimos la transformada de la plaza t es igual a 1 / s cuadrada así que uno entre s cuadrada por 2 entre s cuadrada va a ser igual a 2 entre s al cubo muy bien ahora déjenme hacerles una pregunta aunque bueno antes de hacer la pregunta vamos a hacer la transformada de la plaza de t al cubo y entonces ya podrán ver si es que surge algún patrón vamos a hacer entonces la transformada de la plaza de t al cubo lo cual es bastante divertido les recomiendo que ustedes lo hagan plataforma de la plaza va a ser igual a 1 / s por la transformada de la clase 3 por t al cuadrado que a su vez es igual a sacamos la constante 3 entre s por la transformada de la clase de t al cuadrado va a ser igual ya lo hicimos es 2 / desea al cubo que lo multiplicamos por 3 entre s así que nos queda 3 por 2 entre s a la cuarta aquí se puede ponerte elevado al adn y hacer un método inductivo para encontrar una regla general para esto creo que ustedes pueden ver el patrón que está emergiendo aquí vamos a escribirlo la transformada de la plaza va a tener aquí una s elevada a un número grande y la parte de arriba va a ser el factorial de este exponente y esta es otra entrada dentro de nuestra tabla de transformadas de la plaza la transformada de la plaza de té elevado a la m va a ser igual m factorial / entre ese elevado a la n zona m + 1 este es un paréntesis para que se note esto pues parecerá una ecuación bastante intimidante pero realmente no es muy difícil ya que vimos todo este desarrollo ya vimos de dónde sale así que si queremos la transformada de laplace dt elevado a la 3 lo único que vamos a hacer es incrementar este exponente iba a ser ese elevado a la cuarta que va a ser dividido por el factorial de 3 así que usamos la propiedad de derivada de la transformada de la plaza para encontrar la transformada de laplace de coseno de aporte y también la transformada de la plaza de que elevado a alguna potencia así que ahora podemos saber la transformada de la plaza de t elevado a cualquier potencia y con esto ya sabemos las funciones trigonométricas la función exponencial y cómo sacar la transformada de la plaza de polinomios nos vemos en el siguiente vídeo