Demostración del teorema de Stokes (parte 1)

en este vídeo voy a intentar demostrar o más bien en los próximos vídeos intentaré demostrar un caso muy especial del teorema stoxx el el teorema stoxx para una versión digamos muy especial y estoy haciendo esto pueda porque su demostración es un poco más sencilla y al mismo tiempo es muy convincente en el caso especial que supondremos es que la superficie con la que con la que estamos trabajando es la gráfica de una función que depende de xy de ye que están en alguna región r es decir si me das un punto xy particular sólo determina un único punto en esta superficie entonces es un es como un mapeo de esta región r a la superficie que ya está en tres dimensiones así que esta prueba no aplica superficies como son las esferas o algo así donde en cada punto se le pueden asociar a otros dos puntos en el espacio o algo así pero bueno este es un muy buen comienzo la otra cosa que que vamos a suponer es que nuestra función zeta que que es la altura digamos es una función de x ideye pero además que tiene derivadas segundo orden continuas entonces vamos a notar eso son derivadas de segundo orden continuas continuas ok y eso eso para qué lo hacemos bueno eso es lo que nos va a permitir esencialmente es que cuando yo tomé la derivada de z con respecto de i y luego tomé su derivada respecto de x bueno esencialmente esto va a ser la derivada primero respecto de x y luego respecto de ella es decir que las derivadas cruzadas vamos a llamarlo así sean iguales esto es para lo que vamos a utilizar que sus derivadas de segundo orden sean continuas y bueno hablemos un poquito también de nuestro campo vectorial porque queremos hacer evaluar la integral del campo de vectorial a lo largo de la curva entonces vamos a pedir que las derivadas parciales de primer orden de nuestro campo vectorial sean continuas ok entonces con esto dicho vamos a ver qué nos dice el teorema de stocks vamos a tratar de ver cuando es cierto el teorema de stocks entonces el teorema stoxx nos dice que la integral d del campo vectorial punto de r a lo largo de nuestra curva c aunque de hecho es una curva cerrada así que le podemos poner esto cuál es nuestra curva bueno la voy a estar pintando en azul esencialmente es esta que es la frontera de nuestra superficie estamos pensando en una superficie que está acotada por esta curva que digamos es suave y las cosas que ya hemos dicho en otro vídeo entonces esta integral de línea va a ser igual a la integral doble que es esencialmente de superficie de hecho déjenme ponerlo con este color va a ser la integral sobre nuestra superficie s de quien pues va a ser del rotación al df rotacional de f punto de ese punto de s esta es una integral de superficie entonces en este vídeo y el próximo vamos a enfocarnos en desarrollar esta parte de aquí déjenme mostrarlo la parte de la derecha vamos a tratar de desarrollar la parte de la derecha y en los siguientes vídeos tratar de desarrollar la parte de la izquierda y ver si coinciden en algún momento ok entonces para ir empezando esto vamos a ver quién es el rey el rotacional df entonces vamos a calcular el rotacional df que recordemos que lo podemos ver como el operador gradiente cruz el campo vectorial qué significa eso bueno esto en realidad es un determinante verdad es un determinante donde tenemos a los vectores canónicos y al vector canónico j y al vector canónico cada que lo voy a hacer con verde con verde ok tenemos estos vectores y esto es un determinante que en realidad es notación recordemos que esto sólo es notación y luego quién va a ir aquí bueno pues va a ir el operador gradiente pero ese ese simplemente es la parcial respecto de x la parcial respecto de iu y la parcial respecto de z quien va en el último renglón pues en los elementos o las entradas de nuestro campo vectorial efe que los voy a poner en azul que es q quiere que son funciones que dependen de tres variables x jay-z que están de hecho acá arriba entonces vamos a calcular esto quien es esto pues si empezamos con nuestro vector y el vector y va a multiplicar a quien pues a la parcial respecto del de r - la parcial respecto de z de cv entonces es la parcial de r respecto de y menos la parcial de q respecto de z luego va un menos menos - j que multiplica a quien vamos a quitar columna y renglón de jota y nos queda la parcial de r respecto de x rx menos la parcial de p respecto de z parcial de p respecto de zeta y ahora quien nos queda más cada vez bueno el vector k por la parcial de cv respecto dx cupé x menos la parcial de p respecto de y entonces este es el rotacional de f y ahí voy a dejarlo estoy estoy tratando de hacer vídeos cada vez más cortos así que en el próximo vídeo voy a intentar expresar de ese la diferencial de ese y luego evaluar este producto punto para poder así llegar a la integral de superficie ya después veremos quién es la integral de f a lo largo de una curva y veremos que esto en realidad coincide