No comprendo como sacar un logaritmo

puedes pensar en los logaritmos como una especie de exponencial es decir: Log(100)= ? pues sabemos que la base de Log es 10 entonces: 10^x=100 el Log(100) es esa variable x que se necesite para que la base del logaritmo en este caso 10 sea igual a 100 por lo tanto x=2 y por eso Log(100)= 2 . Espero te sirva, saludos!

¿Por qué no es posible la primera opción en el ejercicio 7 si implemento la propiedad regla de la potencia?

Porque ese 3 que multiplica en el logaritmo afecta al 2x no solo a x, 3log_b(2x) si lo expandes, es log_b(8x^3).

Contenido principal

Curso: Álgebra 2 > Unidad 8

Lección 3: Propiedades de los logaritmos

Introducción a propiedades de logaritmos

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Aprende las propiedades de logaritmos y cómo utilizarlas para volver a escribir expresiónes logarítmicas. Por ejemplo, expande log₂(3a).


La regla del producto	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍
La regla del cociente	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍
La regla de la potencia	$\log_{b} (M^{p}) = p \cdot \log_{b} (M)$ ‍

(Estas propiedades se aplican para cualesquiera valores de

M

N

, y

b

para los cuales cada logaritmo esté definido, es decir para

M

N > 0

0 < b \neq 1

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Debes saber qué son los logaritmos. Si no, por favor revisa nuestra introducción a los logaritmos.

Lo que aprenderás en esta lección

Los logaritmos, como los exponentes, tienen muchas propiedades útiles que sirven para simplificar expresiones logarítmicas y para resolver ecuaciones logarítmicas. Este artículo explora tres de esas propiedades.

Veamos cada propiedad individualmente.

La regla del producto: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Esta propiedad dice que el logaritmo de un producto es la suma de los logs de sus factores.

¡Claro! Si

M = 4

N = 8

b = 2

, entonces de acuerdo a la propiedad,

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

Las operaciones abajo muestran que ¡la propiedad es verdadera en este caso!

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) \\ \log_{2} (32) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Pues 4 \cdot 8 = 32 \\ 5 & = 2 + 3 & Al evaluar los logs \\ 5 & = 5 \end{aligned}$ ‍

¡Esto no es una prueba! Mas bien nos puede convencer que la propiedad es factible, y quizá darnos una idea de por qué esto es verdadero.

Podemos utilizar la regla del rpoducto para volver a escribir expresiones logarítmicas.

Ejemplo: expandir logaritmos usando la regla del producto

Para nuestros propósitos, expandir un logaritmo significa escribirlo como la suma de dos o más logaritmos.

Expandamos

\log_{6} (5 y)

Observa que los dos factores en el valor de entrada del logaritmo son

5

y

. Podemos aplicar directamente la regla del producto para expandir el log.

\begin{aligned} \log_{6} (5 y) & = \log_{6} (5 \cdot y) \\ = \log_{6} (5) + \log_{6} (y) & Regla del producto \end{aligned}

Ejemplo: condensar logaritmos usando la regla del producto

Para nuestros propósitos, comprimir una suma de dos o más logaritmos significa escribirla como un solo logaritmo.

Condensemos

\log_{3} (10) + \log_{3} (x)

Como ambos logaritmos tienen la misma base (base

3

), podemos aplicar la regla del producto en sentido inverso:

\begin{aligned} \log_{3} (10) + \log_{3} (x) & = \log_{3} (10 \cdot x) & Regla del producto \\ = \log_{3} (10 x) \end{aligned}

Una observación importante

Cuando comprimimos expresiones logarítmicas con la regla del producto, las bases de todos los logaritmos en la expresión deben ser iguales.

Por ejemplo, no podemos utilizar la regla del producto para simplificar algo como

\log_{2} (8) + \log_{3} (y)

Comprueba tu comprensión

1) Expande $\log_{2} (3 a)$ ‍.

2) Condensa $\log_{5} (2 y) + \log_{5} (8)$ ‍.

La regla del cociente: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Esta propiedad dice que el log de un cociente es la diferencia de los logs del dividendo y del divisor.

¡Claro! Si

M = 81

N = 3

b = 3

, entonces de acuerdo a la propiedad,

\log_{3} (\frac{81}{3}) = \log_{3} (81) - \log_{3} (3)

Las operaciones abajo muestran que ¡la propiedad es verdadera en este caso!

$\begin{aligned} \log_{3} (\frac{81}{3}) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) \\ \log_{3} (27) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) & Pues 81 \div 3 = 27 \\ 3 & = 4 - 1 & Al evaluar los logs \\ 3 & = 3 \end{aligned}$ ‍

¡Esto no es una prueba! Mas bien nos puede convencer que la propiedad es factible, y quizá darnos una idea de por qué esto es verdadero.

Ahora utilicemos la regla del cociente para volver a escribir expresiones logarítmicas.

Ejemplo: expandir logaritmos usando la regla del cociente

Expandamos

\log_{7} (\frac{a}{2})

, al escribirlo como la diferencia de dos logaritmos aplicando directamente la regla del cociente.

\begin{aligned} \log_{7} (\frac{a}{2}) & = \log_{7} (a) - \log_{7} (2) & Regla del cociente \end{aligned}

Ejemplo: condensar logaritmos usando la regla del cociente

Condensemos

\log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y)

Como ambos logaritmos tienen la misma base (base

4

), podemos aplicar la regla del cociente en sentido inverso:

\begin{aligned} \log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y) & = \log_{4} (\frac{x^{3}}{y}) & Regla del cociente \end{aligned}

Una observación importante

Cuando comprimimos expresiones logarítmicas con la regla del cociente, las bases de todos los logaritmos en la expresión deben ser iguales.

Por ejemplo, no podemos utilizar la regla del cociente para simplificar algo como

\log_{2} (8) - \log_{3} (y)

Comprueba tu comprensión

3) Expande $\log_{b} (\frac{4}{c})$ ‍.

4) Condensa $\log (3 z) - \log (8)$ ‍.

La regla de la potencia: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Esta propiedad dice que el log de una potencia es el exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.

¡Claro! Si

M = 4

p = 2

, y

b = 4

, entonces de acuerdo a la propiedad,

\log_{4} (4^{2}) = 2 \log_{4} (4)

Las operaciones abajo muestran que ¡la propiedad es verdadera en este caso!

$\begin{aligned} \log_{4} (4^{2}) & = 2 \log_{4} (4) \\ \log_{4} (16) & = 2 \log_{4} (4) & Pues 4^{2} = 16 \\ 2 & = 2 \cdot 1 & Al evaluar los logs \\ 2 & = 2 \end{aligned}$ ‍

¡Esto no es una prueba! Mas bien nos puede convencer que la propiedad es factible, y quizá darnos una idea de por qué esto es verdadero.

Ahora utilicemos la regla de la potencia para volver a escribir expresiones logarítmicas.

Ejemplo: expandir logaritmos usando la regla de la potencia

Para nuestros propósitos, expandir un solo logaritmo significa escribirlo como un múltiplo de otro logaritmo.

Utilicemos la regla de la potencia para expandir

\log_{2} (x^{3})

\begin{aligned} \log_{2} (x^{3}) & = 3 \cdot \log_{2} (x) & Regla de la potencia \\ = 3 \log_{2} (x) \end{aligned}

Ejemplo: condensar logaritmos usando la regla de la potencia

Para nuestros propósitos en esta sección, condensar un múltiplo de un logaritmo significa escribirlo como otro logaritmo solo.

Utilicemos la regla de la potencia para condensar

4 \log_{5} (2)

Cuando condensamos una expresión logarítmica con la regla de la potencia, convertimos los multiplicadores en potencias.

\begin{aligned} 4 \log_{5} (2) & = \log_{5} (2^{4}) & Regla de la potencia \\ = \log_{5} (16) \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

5) Expande $\log_{7} (x^{5})$ ‍.

6) Condensa $6 \ln (y)$ ‍.

Problemas de desafío

Para resolver los siguientes problemas tienes que aplicar varias propiedades en cada caso. ¡Inténtalo!

7) ¿Cuál de las siguientes es equivalente a $\log_{b} (\frac{2 x^{3}}{5})$ ‍?

8) ¿Cuál de las siguientes es equivalente a $3 \log_{2} (x) - 2 \log_{2} (5)$ ‍?

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Génesis Tapia
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “En verdad que esta página...” de Génesis Tapia
En verdad que esta página es super fabulosa, gracias por la ayuda.
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santiagoerter
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “me ayudo tanto para mejor...” de santiagoerter
me ayudo tanto para mejorar
muchas gracias khanacademy
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19brandonpalacios
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Muchas gracias por este p...” de 19brandonpalacios
Muchas gracias por este privilegio de aprender gratis lo aprovechare lo mas que pueda por todos los que no pueden
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MARIA GUADALUPE HERNANDEZ RAMIREZ
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “No comprendo como sacar u...” de MARIA GUADALUPE HERNANDEZ RAMIREZ
No comprendo como sacar un logaritmo
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- Jose Juan Can Tec
  Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “puedes pensar en los loga...” de Jose Juan Can Tec
  puedes pensar en los logaritmos como una especie de exponencial es decir:
  Log(100)= ? pues sabemos que la base de Log es 10 entonces:
  10^x=100 el Log(100) es esa variable x que se necesite para que la base del logaritmo en este caso 10 sea igual a 100 por lo tanto x=2 y por eso Log(100)= 2 . Espero te sirva, saludos!
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HERNANDEZ SALDAÑA FLOR
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “muy buena las preguntas y...” de HERNANDEZ SALDAÑA FLOR
muy buena las preguntas y super aprendo cada dia mas matematica.
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2223031018
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “<3 adoro esta página...” de 2223031018
<3 adoro esta página
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Elvis Luis Rejas Gutiérrez
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “es increíble el nivel que...” de Elvis Luis Rejas Gutiérrez
es increíble el nivel que se puede esperar
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Cristian Echeverri
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “¿Por qué no es posible la...” de Cristian Echeverri
¿Por qué no es posible la primera opción en el ejercicio 7 si implemento la propiedad regla de la potencia?
Botón que navega a la página de registroComentar en la publicación “¿Por qué no es posible la...” de Cristian Echeverri
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Respuesta
- Alexander Jamie
  Publicado hace hace 8 meses. Enlace directo a la publicación “Porque ese 3 que multipli...” de Alexander Jamie
  Porque ese 3 que multiplica en el logaritmo afecta al 2x no solo a x, 3log_b(2x) si lo expandes, es log_b(8x^3).
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Enrique Shailer
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “¿Quién ve estas preguntas...” de Enrique Shailer
¿Quién ve estas preguntas? ...el Profe...?
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- Rommel Ccorahua Lozano
  Publicado hace hace 5 meses. Enlace directo a la publicación “un sapo...” de Rommel Ccorahua Lozano
  un sapo
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JhoselynM
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “Me confude mucho...” de JhoselynM
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Álgebra 2

Curso: Álgebra 2 > Unidad 8

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Lo que aprenderás en esta lección

La regla del producto: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Ejemplo: expandir logaritmos usando la regla del producto

Ejemplo: condensar logaritmos usando la regla del producto

Una observación importante

Comprueba tu comprensión

La regla del cociente: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Ejemplo: expandir logaritmos usando la regla del cociente

Ejemplo: condensar logaritmos usando la regla del cociente

Una observación importante

Comprueba tu comprensión

La regla de la potencia: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

Ejemplo: expandir logaritmos usando la regla de la potencia

Ejemplo: condensar logaritmos usando la regla de la potencia

Comprueba tu comprensión

Problemas de desafío

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La regla del producto: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

La regla del cociente: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

La regla de la potencia: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍