Integral de superficie. Ejemplo 3 (parte 3)

ya estamos en la recta final ya solo nos resta calcular esta tercera integral que está definida sobre esta parte superior de nuestro pequeño cilindro digamos rebanado así que vamos a pensar en una parametrización y para eso déjenme copiar y pegar esta superficie para llevarla allá abajo copiamos y pegamos de este lado y pegamos ok muy bien y ya tenemos nuevamente nuestra superficie y déjenme regresar a los colores muy bien entonces realmente lo que queremos calcular es la integral de z de s sobre s 3 muy bien entonces aquí además sabemos que esta superficie no es otra cosa más que a este círculo unitario lo elevamos hasta dónde está el plano verdad es decir es es una función que va del de este círculo hacia hacia este plano entonces realmente está definido por el plano 7 igual a 1 - x en donde ahora nosotros tenemos que determinar quién es esta región para saber cuál es la región acá arriba del plano que realmente nos estamos tomando entonces para hacer eso vamos a parametrizar la circunferencia unitaria o el círculo unitario de acá adentro y eso es muy sencillo porque ya lo hay mucho ya lo hemos hecho varias veces tratar de pintar mis mis ejes en mis dos ejes este es el eje digamos el eje y y este es el eje x y lo que vamos a tener aquí es digamos la proyección de esta etapa de esta etapa del cilindro sobre el plano entonces nos da esta circunstancia roja que déjenme tratar de pintarla lo más agradable posible ok más o menos esta es la idea sale este es mi círculo unitario y para parametrizar lo pues primero necesitamos saber qué tanto nos estamos moviendo alrededor del centro en qué ángulo justamente así vamos a definir este primer parámetro que va a ser el ángulo y para llamarle ángulo pues déjenme usar teta que no vemos que no habíamos utilizado ya esa esa letra y este ángulo pues lo que nos permite decirnos moviendo en digamos recorriendo lo de forma circular estos puntos verdad cuando theta es cero empieza aquí y a medida que vamos aumentando theta vamos moviéndonos en esta dirección la otra el otro detalle es que tenemos que rellenar esta circunferencia entonces no sólo eso sino que además necesitamos definir aquí otro parámetro digamos esto que nos diga qué tan a qué tanta distancia nos estamos moviendo del centro y ese vamos a llamarle r muy bien entonces tenemos dos parámetros esto no es otra cosa más que las coordenadas polares así que en nuestro primer parámetro r sólo se puede mover entre 0 y 1 porque es la distancia a la que podemos estar del centro hasta el círculo más grande que es de radio 1 entonces tenemos que 0 menor o igual que erre que es menor o igual que uno y la otra es que que tanto nos movemos que tanto damos vuelta esa es la forma de verlo y eso nos dice que el ángulo puede estar entre 0 y 2 pi ok entonces aquí está ya definido a la región de los parámetros sólo hay que definir bien la parametrización y una de ellas es x en sus coordenadas polares que es r coseno de teta ye igual a r seno de teta iceta pero zeta ceta no es otra cosa más que 1 - x y x r coseno beteta entonces esto es 1 - r coseno dt está ok entonces pues todavía podemos dar incluso nuestra nuestra parametrización en términos de una función vectorial de dos parámetros como digamos pues si si el punto de la superficie 3 que depende de r lo escribimos de esta forma pues en su primera coordenada en su primera coordenada lo podemos expresar como r coseno de teta por y más la segunda coordinada es el seno de teta que esto va en la dirección del vector jota más en la tercera coordenada es 1 - r coseno de teta que multiplica al vector k muy bien entonces esta es nuestra función vectorial y ahora para calcular d es lo que tenemos que hacer es déjenme ver donde lo teníamos de ese es el producto cruz de nuestras derivadas de la parametrización bueno aquí no estamos usando ni ere ni un nivel pero pero lo que estamos haciendo lo que vamos a hacer es el producto cruz de las de las derivadas de s respecto de r&d respecto de teta después obtenemos su magnitud o su norma y ya ya podremos ir calculando a bs entonces empecemos con ese producto cruz que no es otra cosa más que un determinante un determinante yo creo que sí va a necesitar todo este espacio fue un poco chueco ahí está entonces vamos a calcular un determinante donde aquí ponemos el vector y el vector jota y el vector k luego en el siguiente renglón vamos a poner en azul la derivada de ese 3 respecto de ere y si derivamos la primera coordenada respecto de r nos queda coseno coseno detecta están de acuerdo luego si derivamos la segunda coordenada respecto de r nos queda seno de teta y si derivamos la última respecto de r pues simplemente esto es una constante y nos queda menos coseno de teta - coseno de teta porque lo demás son constantes para fines de derivar respecto de r en el último renglón vamos a hacer la derivada de esto respecto de teta entonces si derivamos ere coseno ett al respecto de teta vamos a tener que la derivada de co seno de teta es menos seno de teta entonces aquí tendremos menos r seno de teta luego la derivada de rs no detecta es r jose no detecta y la derivada de esto último pues simplemente el 1 es una constante se anula al derivar y nos queda menos r por la derivada de coseno de teta que es menos seno de teta entonces los menos se cancelan y simplemente nos queda r seno de teta este es el determinante que hay que calcular entonces de hecho déjenme irme un poquito más abajo esto va a ser simplemente podemos escribir s 3 s s s 3 cuando derivamos respecto de r cruz s 3 cuando derivamos respecto de teta pues va a ser si nos tomamos nuestra coordenada i nuestra nuestra primera entrada y quitamos columna y renglón nos queda este pequeño determinante verdad seno de teta por r seno dt taques rs no cuadrado de teta menos el producto de estos dos que es r coseno beteta por coseno de teta con el menos se cancelan entonces simplemente nos queda el seno cuadrado de teta más r coseno cuadrado de teta que multiplica nuestro vector y ok menos aquí va el menos porque ya estamos saltando a esta segunda entrada quitamos columna y quitando renglón y nos queda coseno por 13-9 teta es r se no detecta coseno de teta y menos el producto de estos dos que el producto de estos dos se anulan los signos y nos queda rc no detecta coseno beteta menos rs no detecta coseno detecta por jota y ahora as tenemos que sumar el lo correspondiente al vector k entonces si quitamos renglón y columna nos queda r coseno cuadrado de teta menos el producto de estos dos pero con este menos se va y nos queda r más sería más r seno cuadrado de teta que multiplica al vector k lo único que nos resta es calcular la norma verdad porque si nos damos cuenta estos se cancelan esto se hace 0 son exactamente los mismos términos y ahora también podemos ver de aquí que si factor izamos una erre nos queda r por seno cuadrado de teta más coseno cuadrado de teta que esto es 1 entonces aquí sólo nos queda r y pasa exactamente lo mismo en esta tercera coordenada o sea esto es r y + 0 digamos j + r acá por lo tanto quien es la norma la norma de este de esto de este vector la norma de este vector entonces nos va a quedar que la norma del mismo s 3r cruz s 3 zeta va a ser la raíz cuadrada de quien de r al cuadrado más 0 al cuadrado más r al cuadrado que es r cuadrada más r cuadrada que no es otra cosa más que dos veces r cuadrada que si sacamos raíz a cada uno de ellos nos queda la raíz de dos por r muy bien ya nada más nos queda entonces si ésta es la norma del producto cruz ya podemos ir calculando quién es la integral de zeta de s a lo largo o sobre esta superficie s 3 porque esto va a ser igual a la raíz de bueno aquí podemos poner esta raíz de 2 hasta afuera esto es la raíz de 2 verdad de la integral vamos a integrar primero respecto que les parece bueno esta integral de afuera que sea respecto de teta entonces va de 0 a 2 p de la integral de la integral con rosa de la integral de 0 a 1 que es en donde se mueve el radio de quién de z que es 11 - r coseno de teta ok es tz por el ds ds es este producto por el raíz de 2 ya lo pusimos afuera simplemente nos falta poner r luego integramos primero respecto a r y luego vamos a integrar respecto de no ponerlo así respecto de teta realmente no importa el orden en el que integremos ya sea teta o r porque tenemos muy bien definidos los valores en los cuales se mueven estos estos dos parámetros no importa el orden no de hecho ni siquiera creo que cambie la la complejidad del problema pero bueno si ya me acabo de dar cuenta de que ya se me está acabando el tiempo así que terminaré en el siguiente vídeo de calcular esta superficie